Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 13 )

Осталось только убедиться в существовании и . В качестве можно взять простейшую однооборотную петлю типа 1, то есть . Тогда петлей будет гомоклиническая петля типа 100; она существует при , удовлетворяющем

, (1.51)

Это уравнение имеет положительный корень при всех ; он и даёт значение .

Таким образом, при всех отрицательных значениях , существует бесконечная последовательность ; кодировка соответствующих петель определяется рекуррентным соотношением

, (1.52)

Каждая пара петель и , разрушаясь наружу, порождают 2n – оборотный устойчивый симметричный цикл, который при увеличении теряет устойчивость, и от него ответвляется пара устойчивых несимметричных циклов того же типа, которые при ложатся на сепаратрисы, образуя гомоклинические петли и .

Последовательность , n=1,2,4,8… ограничена сверху () и монотонна, следовательно, существует её предел .

Как указано в работе [44], разрывное отображение вида (1.39) в некотором смысле эквивалентно непрерывному отображению

(1.53)

для которого показано существование бесконечной последовательности бифуркаций удвоения цикла. Каждой такой бифуркации в (1.53) соответствует бифуркация потери устойчивости симметричным циклом и ответвлением от него пары несимметричных для отображения (1.39). Существованию же гомоклинических петель у (1.39) соответствует прохождение через нуль производной в одной из точек n – оборотного цикла в (1.53) (и, следовательно, в любой точке этого цикла). Для различных значений последовательность бифуркаций удвоения сходится к своему пределу по закону геометрической прогрессии. В частности, при , когда отображение (1.53) становится гладким, Фейгенбаум нашёл знаменатель этой прогрессии и масштабный фактор , являющийся коэффициентом подобия при преобразовании притягивающих множеств.

Аналогично и для отображения (1.39) последовательность должна сходиться к , как геометрическая прогрессия. В частности, при , получаются известные константы Фейгенбаума … и …

Обработка полученных результатов показывает, что в исследованном интервале значений величина

ϰ (1.54)

почти не меняется. Фиксируя её значение при одном из (например, при ϰ= ϰF=3.6692016… ), можно записать приближённую формулу для :

ϰ (1.55)

Как указывалось, устойчивые n – оборотные циклы, описанные выше, существуют только при ; таким образом, при из заведомо нет. В то же время, счётное множество симметричных неустойчивых циклов, каждый из которых наследует потерявшему устойчивость соответствующему симметричному циклу, продолжает существовать. Можно показать, что при предельное множество имеет канторову структуру и сепаратриса всюду плотна на нём. При существует сходящаяся сверху к последовательность кривых , , на каждой из которых сепаратрисы попадают на n – оборотный симметричный неустойчивый цикл. Указанное выше соответствие отображений (1.39) и (1.53) позволяет предположить о существовании при хаотического аттрактора могут быть распространены и на случай, исследуемый в данной работе. Область хаотичности заведомо ограничена сверху кривой , выше которой сепаратриса вместе с близкими к ней траекториями перестаёт возвращаться в окрестность начала координат. Кроме того, при встречаются последовательности устойчивых циклов, порождаемых гомоклиниками вида (1, n) и счётным множеством других гомоклиник.

В отличие от случая положительных седловых величин, для которого, как указывалось выше, лишь при малых (и, следовательно, малых ) приходится ожидать качественного соответствия описанных бифуркаций в модельном отображении (1.39) и исходной системе (1.36), в области отрицательных можно надеяться на расширение границ применимости. Во всяком случае, при любом непрерывном изменении параметров системы, переводящем её из состояния, в котором имеется пара однооборотных гомоклинических петель в состояние с парой трёхоборотных пеи 011), при промежуточных значениях параметров будет наблюдаться последовательность бифуркаций, соответствующая описанной выше картине. Преобразование притягивающих траекторий, соответствующее рисункам 1.15 -1.15 схематично изображено на рисунках 1.16 -1.16 .

При конечных первые линии существования петель семейства будут далеки друг от друга; тем не менее, сходимость последовательности , обусловленная её ограниченностью сверху, даёт возможность выбрать в качестве первого элемента этой последовательности не однооборотную петлю, а более сложную, как угодно близко лежащую к сгущению.

Модельное отображение для траекторий, близких к такой многооборотной петле, будет иметь вид (1.39); изменение глобального участка этих траекторий отразится лишь на величине коэффициента . Как указывалось выше, изменением масштаба g и соответствующей перенормировкой (при ) может быть обращено в единицу, однако, предельные значения скорости сходимости и других характеристик отображения не зависят от такой перенормировки (как и вообще от дифференцируемой замены параметра); именно поэтому, например, может быть вычислено и как предел отношения приращений , и как предел отношения приращений .