Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 27 )

многоугольника относительно оси ординаты. Зависимости энтропий правильного пустого многоугольника от угла согласно формулам (3.11), (3.12), (3.36), показаны на рисунке 3.25. Информационная энтропия S определена по формуле (3.11).

Энтропия пустого равностороннего треугольника имеет наибольшее значение по сравнению с остальными пустыми многоугольниками (рисунок 3.26).

В случае самоподобно заполненных фигур энтропия несколько возрастает. Это видно, если сопоставить рисунки 3.25 и 3.27. Энтропия самоподобного треугольника также имеет наибольшее значение по сравнению с остальными самоподобными многоугольниками (рисунок 3.28).

Рисунок 3.32 - Энтропийные закономерности эволюции динамических систем: с гомоклинической (gluing) бифуркацией (+) (, , , ), отображение фрактальной эволюции (o) (,), отображение Рулькова (*)(,, ), логистическое отображение (Δ) () отображение Хенона () (, ). Общее число точек N=105. SΔ=17.7. Сплошные линии на рисунке соответствуют теории [21, с.443-452].

Зависимости энтропий правильного многоугольника с случайными распределениями точек внутри огибающей области от угла , показаны на рисунке 3.29. Структура рисунка 3.29 подобна рисунку 3.25. Случайное распределение точек уменьшает энтропию многоугольника при условии, чтообщее число точек будет одинаковым для пустого и заполненного многоугольника (рисунок 3.30).

Рассмотрим энтропийные закономерности одномерных объектов, где в качестве переменных используется реализации динамических систем. Энтропия Шеннона нормирована на энтропию сигнала, имеющего форму равностороннего треугольника. На рисунке 3.31 приведена энтропийная закономерность эволюции динамических систем: (1.56), (3.30), (3.31), (3.32), (3.33). Видно, что только сигналы генератора динамического хаоса с фазовым управлением являются самоорганизованными при больших значениях эволюционного параметра порядка.

Теперь применим энтропийный метод двумерных объектов с учетом степени однородности к анализу моделей динамических систем: логистическое отображение, отображение Хенона, отображение «накопления – выброса», система дифференциальных уравнений бифуркации склеивания, которые мы

Рисунок 3.33. Энтропийные закономерности эволюции динамических систем с учетом степени однородности: с гомоклинической (gluing) бифуркацией (+) (, , , ), отображение фрактальной эволюции меры (o) (,), уравнение Рулькова (*)(,, ), логистическое отображение (Δ) () отображение Хенона () (, ). Общее число точек N=105. SΔ=17.78. Сплошные линии на рисунке соответствуют теории [21, с.443-452].

уже рассматривали в построении бифуркационных диаграмм, и двумерное отображение нейроной модели.

Уравнение двумерного отображения нейронной модели [5, p.10] имеет вид:

(3.37)

где , - параметры.

Изменение энтропии Шеннона по определенноми из (3.2), показано на рисунке 3.32. По формулам (3.11), (3.12), (3.2) построен рисунок 3.33.

Рисунок 3.33 станет более понятным, если учесть зависимость q от (рисунок 3.34).

Также из рисунка 3.33 видно, что отображение «накопление - выброса» и система дифференциальных уравнений гомоклинической бифуркации имеют наиболее высокие значения параметра порядка по сравнению с остальными динамическими системами. В этих случаях значения относительной энтропии лежат в интервале самоподобия и самоаффиности (S).

Рисунок 3.34 Зависимость обобщенно – метрической характеристики от степени однородности q

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе мы показали, что в эксперименте c аналоговой электронной схемой сценарии перехода к хаосу наблюдаются с начальными стадиями последовательности бифуркации склеивания. Схема реализует модифицированную систему дифференциальных уравнений Лоренца.

Наблюдаемая последовательность переходов бифуркации склеивания обеспечивает однозначное качественное подтверждение теоретических предсказаний. Наши экспериментальные результаты подтверждают теоретическое описание маршрута к хаосу для симметричных систем. Из - за явного введения контролируемой асимметрии в уравнении Лоренца и в аналоговой схеме позволяют обнаруживать в цепи и те сценарии, которые предсказывает теория асимметричной бифуркации склеивания.

Из общих принципов - условий ограничения производной и хаотичности (скейлингового характера зависимости среднеквадратичной величины от времени) процесса получено универсальное двухпараметрическое отображение. Один из параметров имеет смысл дробной части фрактальной размерности множества значений рассматриваемой физической величины, другой – коэффициента пропорциональности в принятой скейлинговой зависимости. Полученное отображение описывает перемежаемые, хаотические эволюционные процессы. В отличие от известных моделей данное отображение реализует асимметричную перемежаемость с сильными всплесками, т. е. сигналы типа «накопление - выброс».

Важно то, что именно такие сигналы удовлетворяют критериям самоорганизации. Такие сигналы ранее нами были получены теоретически, в схемотехническом, физическом экспериментах от радиотехнического генератора с фазовым управлением. Сходство реализаций имеет физическую основу. Фрактальность процесса, использованная при выводе отображения, является основным свойством самоорганизованных систем. В системе уравнений генератора динамического хаоса нами была принята нелинейная зависимость собственной частоты селективного контура от фазы обратной связи. Этот фактор тоже является одним из основных условий самоорганизации.

В настоящей работе мы по новому методу построили бифуркационные диаграммы ранее исследованных моделей динамических систем: логистического отображения, отображения Хенона, отображения для колебаний типа «накопление - выброс» и для систем с гомоклиническими бифуркациями.

Эти диаграммы мы сопоставили с ранее известными диаграммами, построенными через параметры уравнений динамической системы. Основным достоинством нашего метода является то, что можно исследовать бифуркационные явления по реализациям, не зная исходные уравнения. В этой работе мы также показали сходство природы гомоклинической бифуркации типа «gluing» с бифуркацией в колебаниях типа «накопление - выброс».