Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 8 )

а) в точке бифуркации, б) сразу после бифуркации

Рисунок 1.8 - Отображение, моделирующее перемежаемость I типа

Другие типы перемежаемости, как уже отмечалось, связаны с субкритической бифуркацией Андронова – Хопфа в сечении и субкритической бифуркацией удвоения периода цикла. Они называются, соответственно, перемежаемостями II и III типа. Модельным отображением для перемежаемости II типа служит следующее отображение плоскости, задаваемое в полярных координатах:

mod 1. (1.25)

При в отображении имеет место субкритическая бифуркация Андронова – Хопфа, которая представляет собой «влипание» неустойчивой инвариантной окружности в устойчивый фокус. Неустойчивая инвариантная окружность соответствует седловому тору в потоковой системе размерности . Данный тип перемежаемости характеризуется асимптотическим поведением средней длительности регулярных колебаний вида

~ , (1.26)

где - параметр надкритичности.

Перемежаемость III типа может быть описана одномерным модельным отображением вида

(1.27)

демонстрирующим при субкритическую бифуркацию удвоения периода 1- цикла. Асимптотическое поведение средней длительности регулярных колебаний имеет тот же вид, что и в случае перемежаемости II типа.

Разные виды перемежаемости можно различить по формуле сигнала и по распределению P(l) длин стационарных участков.

Предположим теперь, что сигнал случайным образом (с вероятностью ) возвращается в стационарный режим, так что можно использовать уравнение:

. (1.28)

Чтобы получить зависимость , заменим

(1.29)

приближенным дифференциальным уравнением для стационарной области

(1.30)

После интегрирования получим

(1.31)

где с – максимальное значение в стационарном режиме.

Из уравнений (1.30) и (1.31) следует

(1.32)

и

(1.33)

при

Распределение для двух других видов перемежаемости получаются таким же образом:

для 2-го рода, (1.34)

для 3-го рода. (1.35)

Для перемежаемости 2- го рода уравнение (1.28) необходимо заменить на так как отображение Пуанкаре двумерно.

1.4 Переход к хаосу через «склеивание» гомоклинических траекторий

Рассмотрим теперь особый объект нелинейной динамики – гомоклиническую структуру, которая может существовать в фазовом пространстве как диссипативных, так и консервативных систем.

Если имеем динамическую систему, заданную некоторым отображением и пусть у этого отображения есть неподвижная точка гиперболического типа. Множество точек, стартуя из которых траектория в пределе приближается к неподвижной точке, есть инвариантное множество рассматриваемой динамической системы, которое называется устойчивым многообразием неподвижной точки. Другое ассоциирующееся с ней инвариантное множество – это неустойчивое многообразие. Если мы будем запускать траектории из окрестности к нулю, а время наблюдения к бесконечности, то посещаемое траекториями множество точек в фазовом пространстве и будет неустойчивым многообразием. Это множество точек, при старте из которых динамика в обратном времени приводит в пределе в неподвижную точку.

Если рассматриваемое отображение двумерное, то гиперболическая неподвижная точка обязана быть седлом, что соответствует наличию у матрицы линеаризованного отображения двух вещественных собственных чисел, одно из которых по модулю больше, а другое меньше единицы. Устойчивое и неустойчивое многообразия представляют собой некоторые кривые, и их называют также устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. Старшее собственное число отвечает собственному вектору, направленному в точке седла А по касательной к неустойчивой сепаратрисе, а второе – вектору, касательному к устойчивой сепаратрисе.

Может оказаться, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекаются в некоторой точке Г0, отличной от исходного седла А (рисунок 1.9). Такая точка называется гомоклинической точкой. Ее наличие делает картину динамики сложной и нетривиальной.

Поскольку точка Г0 принадлежит устойчивому многообразию, то стартующая из нее траектория с течением времени приближается к седлу А. Точка – образ Г1, полученная из Г0 действием нашего отображения, относится к той же приближающейся к седлу траектории и, по определению, принадлежит устойчивому многообразию. При рассмотрении динамики в обратном времени точка Г1 за один шаг переходит в Г0, а при последующих шагах приближается к седлу, ибо Г0 есть точка неустойчивого многообразия. Следовательно, ему же принадлежит и точка Г1. Последняя, таким образом, обязана быть точкой пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, т. е. гомоклинической точкой, как и Г0. Продолжая рассуждать аналогично, нетрудно заключить, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы обязаны иметь бесконечно много точек пересечения. Более того, они не исчерпываются точками одной гомоклинической траектории, проходящей через точку Г0. Изогнутые и петляющие кривые устойчивой и неустойчивой сепаратрис порождают сложно устроенную структуру, подобную сети, грубое представление о которой дает рисунок 1.9.

Доказано, что в области существования гомоклинической структуры присутствует множество траекторий, допускающих кодирование бесконечными двусторонними последовательностями двух символов. Следовательно, имеется бесконечное счетное множество периодических орбит и континуум непериодических траекторий.

Гомоклиническая траектория наблюдается и в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые моделируют эволюционные процессы в нелинейных диссипативных системах, при некоторых условиях могут иметь решение задачи Коши в виде сложной апериодической траектории, заполняющей ограниченную область в фазовом пространстве. Доказательство факта существования таких решений является математическим результатом,

Рисунок 1.9 - Наличие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки двумерного отображения (слева) влечет существование в фазовом пространстве гомоклинической структуры (справа)

обосновывающим принципиальную возможность возбуждения хаотических автоколебаний в системах с более чем одной степенью свободы в отсутствие флуктуаций. С точки зрения качественной теории такая возможность ведет к появлению в фазовом пространстве системы континуума самопредельных траекторий, устойчивых по Пуассону, но экспоненциально неустойчивых в смысле Ляпунова. Необходимым условием возникновения таких предельных множеств является существование в системе особых фазовых траекторий, называемых гомоклиническими.

Рассмотрим седловое периодическое движение Г некоторой трехмерной (для наглядности) динамической системы. Значения мультипликаторов седлового цикла и отражают тот факт, что в фазовом пространстве системы существуют двумерные инвариантные поверхности: устойчивое и неустойчивое многообразия седлового периодического движения. Любая возмущенная траектория, принадлежащая , асимптотически стремится к Г, а по удаляется от цикла (асимптотически стремится к Г в обратном времени). Качественная картина поведения фазовых траекторий в окрестности седлового цикла дана на рисунке 1.10).

В нелинейных системах при некоторых условиях может осуществиться взаимопересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седлового периодического движения. Если такое пересечение трансверсально, то линия пересечения многообразий и образует особую траекторию в фазовом пространстве, открытую А. Пуанкаре и названную им гомоклинической [33-34]. Отметим, что гомоклинические траектории седловых циклов представляют собой структурно устойчивые объекты в фазовом пространстве системы. Именно с существованием гомоклинических траекторий связана возможность возвращаемости неустойчивых траекторий нелинейной системы в ограниченную область фазового пространства, т. е. возможность хаотического решения. Другими словами, выполнение требований существования континуума устойчивых по Пуассону траекторий достигается лишь при наличии гомоклинических траекторий.