Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 23 )

(3.24)

В формуле (3.24), чтобы можно было выбрать одинаковые моменты времени, исключим величину . Прежде чем принять по алгоритму дискретного счета, мы будем моделировать выражение через : именно это выражение, а не , соответствует хаотизации значений .

Учтем, что смысл введения величины заключается в реализации условия

, (3.25)

где τ – характерное время процесса.

При мы имели бы случай вычисления меры Римана по при выборе . При мы получим возможность вычисления меры по Лебегу, учитывая зависимость от приращения функции :

, (3.26)

где - некоторая постоянная. Смысл можно трактовать как аналог базы (сложности) сигнала, используемый для характеристики спектра:

, (3.27)

где - характерное время корреляции, - ширина полосы частот. Согласно определению [74] характеризует сложность выбранного разрешения точности описания хаотического сигнала. Мера фрактального объекта зависит от точности наблюдения, поэтому в результат теории входит постоянная . Значение соответствует выбору степени точности наблюдения процесса: и т. д. Если знак производной в (3.21) определяется внешними условиями (шумоподобные воздействия), то в (3.25) берутся абсолютные значения , .

Принимая , окончательно запишем уравнение (3.24) в следующем виде:

. (3.28)

Продифференцировав (3.28) получим:

. (3.29)

где γ – имеет смысл дробной части фрактальной размерности множества значений хi, с- точность наблюдения хi (0<1/с<1).

Формулы (3.28) и (3.29) представляют собой искомое отображение фрактальной эволюции меры.

Данное отображение реализует асимметричную перемежаемость с сильными всплесками, т. е. сигналы типа «накопление - выброс». Важно то, что именно такие сигналы удовлетворяют критериям самоорганизации. Такие сигналы ранее нами были получены теоретически, в схемотехническом, физическом экспериментах от радиотехнического генератора с фазовым управлением [24, с. 18-20]. Сходство реализаций имеет физическую основу. Фрактальность процесса, использованная при выводе отображения, является основным свойством самоорганизованных систем. В системе уравнений генератора динамического хаоса нами была принята нелинейная зависимость собственной частоты селективного контура от фазы обратной связи. Этот фактор тоже является одним из основных условий самоорганизации.

3.4 Результаты численного анализа

Реализации отображения перемежаемости (формулы (3.28), (3.29)) представляют собой сигналы типа “накопление - выброс” (рисунок 3.2). Соответствующие фазовый портрет и спектр мощности представлены на рисунке 3.3.

Полученное нами отображение реализует особый тип перемежаемости – хаотические выбросы большой амплитуды на фоне мелкомасштабных осцилляций. Поэтому на рисунке 3.4 показан только фрагмент бифуркационной диаграммы для -5<x<5. По принятому условию возможности автоколебательности процесса (цикл ) . Сразу начиная с имеет место хаотический режим. В интервале 2<<3 наблюдаются первые окна периодичности в хаосе.

Видны типичные картины удвоения периода по Фейгенбауму (цикл ). Некоторые ветви наклонных линий бифуркации удвоения не реализованы, процесс имеет асимметрию.

Почти горизонтальные линии соответствуют самой сложной бифуркации - утроению периода (цикл ). Именно эти циклы характеризуют перемежаемость: нерегулярные всплески прерываются почти периодическими колебаниями малой амплитуды, т. к. энергия колебаний в цикле намного меньше, чем в цикле . Остальные циклы , и т. д. сводятся к и . Асимметрия, неоднородность распределения амплитуд приводят к образованию окон по вертикали. Еще одно отличие этой диаграммы от известных моделей типа бифуркации Фейгенбаума в том, что относительный интервал значений

, , б) ,

Рисунок 3.2- Реализации отображения перемежаемости

управляющего параметра на 5 и более раз больше, т. е. перемежаемость проявляется более отчетливо.

Для описания эволюции геометрических мер изменение ограничено до . Случаи описывают эволюцию меры в фазовом пространстве.

Меняя параметр при постоянном значении мы получим аналогичную бифуркационную картину.

Специфика отображения (3.28), (3.29) наглядно проявляется сравнением его реализаций с результатами численного анализа известных моделей динамических систем, в которых реализуются перемежаемость и хаос [75]: