Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 3 )

Переход от порядка к хаосу через последовательности бифуркаций удвоения периода наблюдается во многих динамических системах, начиная с простых отображений и кончая системами сложных нелинейных дифференциальных уравнений. Каскад перехода через удвоение периода можно представить следующим образом. Пусть динамическая система при некотором значении управляющего параметра r=r0 имеет предельный цикл S1 с периодом Т(r). Далее при увеличении параметра до значения r=r1 происходит бифуркация удвоения периода, которая приводит к рождению нового устойчивого предельного цикла S2 с периодом 2Т(r). Таким образом, наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периодов циклов S2*k в значениях r=rk, k=1,2,3,… . Бифуркационные значения rk сходятся в пределе k=∞ к некоторому критическому значению r=rкр, при котором период становится бесконечным, а спектр сплошным. При r>rкр возникают апериодические колебания, неустойчивые по Ляпунову. Этим колебаниям соответствует хаотический аттрактор в фазовом пространстве системы.

Теория перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода была развита М. Фейгенбаумом [28], поэтому данный бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.

Простым примером для исследования сценария Фейгенбаума является логистическое отображение

, (1.1)

где r – параметр, r≥0.

Логистическое отображение можно представить в других формах записи, сводящихся к (1.1) заменой переменных, например,

(1.2)

Рассмотрим поведение отображения (1.1) с ростом параметра r. При отображение имеет одну неподвижную устойчивую точку, которая имеет координату . Далее при имеет место бифуркация удвоения периода цикл S2. Рождается две устойчивые точки , координаты которых равны , так что f(x1)=x2 и f(x2)=x1. Цикл S2 устойчив в области значений параметра . При происходит следующая бифуркация удвоения периода. Рождается цикл S4 и т. д. Получаем последовательность бифуркационных значений параметра … , накапливающуюся к критической точке При cкорость сходимости бифуркационных значений стремится к некоторому конечному пределу

(1.3)

Бифуркационная диаграмма режимов отображения (1.1), приведенная на рисунке 1.1, характерна для систем с каскадом удвоений периодов, приводящим к хаосу. Подобный вид диаграммы получил название «дерево Фейгенбаума». Диаграмма даёт наглядное представление о дроблении масштаба динамической переменной и наличии свойств скейлинга, т. е. масштабной инвариантности, когда один и тот же элемент изображения повторяется во всё более мелком масштабе. Обозначив расстояния между подобными точками ветвей дерева (рисунок 1.1), можно ввести масштабные множители , которые в пределе сходятся к некоторому значению

. (1.4)

Как показали численные исследования, величины и не зависят от конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно имело один экстремум и он был квадратичным.

Рисунок 1.1 - Бифуркационная диаграмма режимов отображения (1.1)

Универсальный характер количественных закономерностей перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода был объяснен М. Фейгенбаумом, создавшим теорию универсальности. Для анализа отображений типа логистической Фейгенбаум применил метод ренормализационной группы, содержание которого сводится к следующему. Пусть в критической точке имеется отображение

, (1.5)

где - произвольная функция с квадратичным экстремумом в точке , причем . Если дважды применим отображение (1.5), то получим . Произведем перемасштабирование переменной так, чтобы новое отображение в начале координат тоже было отнормировано на единицу, то есть и обозначим новое отображение как Повторяя эту процедуру много раз, получаем уравнение ренормализационной группы:

(1.6)

где В критической точке в силу свойств самоподобия существуют пределы

(1.7)

Функция является неподвижной точкой функционального уравнения Фейгенбаума - Цветановича:

(1.8)

где - оператор удвоения, который действует в функциональном пространстве и преобразует отображение через одну итерацию в отображение через две итерации;

Для критической точки, соответствующей сценарию перехода к хаосу через удвоения периодов, граничными условиями уравнения (1.8) будут: Функция называется универсальной, поскольку она не зависит от конкретной формы исходного отображения и определяется только порядком экстремума. Она дает асимптотическую форму 2i – кратного примененного оператора эволюции в критической точке при c учетом перенормировки динамической переменной . Входящая в уравнение неподвижной точки константа также является универсальной. Найденное Фейгенбаумом численное решение уравнения (1.8) в предположении квадратичности экстремума и указанных граничных условий имеет вид

(1.9)

Универсальная константа Фейгенбаума оказывается равной

Если внести малое возмущение оператора эволюции , слегка отклонив значение параметра от критического, оператор удвоения также оказывается возмущенным. Линеаризовав оператор в точке при , получаем оператор , определяющий поведение возмущения, и уравнение для собственных функций и собственных значений линеаризованного оператора: