Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 11 )

Рисунок 1.13 - График отображения (1.39) при положительной седловой величине

При переходе через нуль возникающие при две простейших однообходных гомоклинических петли разрушаются наружу, порождая, согласно [39, с.461-472], пару неустойчивых L – циклов, которым соответствуют неподвижные точки с координатами [41]

(1.42)

Как видно из (1.41) и (1.42), при достаточно малых положительных , то есть сепаратриса с близкими к ней траекториями по - прежнему уходит из окрестности начала координат и не возвращается в неё. По этой причине - множество, возникшее при разрушении пары гомоклинических петель [8, с. 336-339], не является притягивающим. Тем не менее, при выборе начальных условий достаточно долгого стохастического переходного процесса (метастабильный хаос [42]).

При «воронка», через которую почти все траектории покидают окрестность нуля, закрывается тогда, когда сепаратриса попадает на L – цикл, то есть при

(1.43)

При отрезок переводится отображением (1.39) в себя, но, как нетрудно убедиться, устойчивых циклов содержать не может. В то же время неустойчивые циклы на этом отрезке имеются; существование, например, симметричного цикла 01 (т. е. двухоборотного цикла, витки которого охватывают начало координат) следует из того, что биссектриса второго и четвёртого координатных углов пересекает обе ветви графика отображения. Более того, может быть показано, что на отрезке имеется счётное множество неустойчивых многооборотных циклов. Притягивающим множеством на этом отрезке является аттрактор типа известного аттрактора Лоренца. Траектории, начинающиеся вне отрезка , притягиваются к устойчивым циклам ; таким образом, в зависимости от начальных условий можно наблюдать как стохастическое, так и регулярное поведение. С дальнейшим увеличением L – цикл и сближаются, и при

(1.44)

сливаются, образуя негрубые кратные циклы, и исчезают. При у отображения (1.39) нет других аттракторов, кроме лоренцева.

Рассматривая последовательные итерации обратного отображения возле нуля, можно показать, что при фиксированном и существует счётное число значений , при которых сепаратрисы образуют гомоклинические петли типа 10…0…0 (и симметричные к ним петли 01…1…1); для краткости петли такого типа, следуя [43], будем называть петлями вида (1, n) , где n- число нулей после единицы (единиц после нуля). Эти значения определяются уравнением

(1.45)

где .

При последовательность монотонно сходится к по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина, обратная мультипликатору L – цикла, который при равен :

~ (1.46)

или, что то же самое

(1.47)

Таким образом, на плоскости к линии сгущается сверху семейство кривых, на каждой из которых существует одна из гомоклинических петель вида (1, n).

все , начиная с некоторого , так же, как и , стремятся к нулю; величина , как нетрудно убедиться, определяется параметром ; так, при при и так далее.

При (по смыслу определения седловой величины ) сепаратриса при увеличении попадает не на L – цикл, а в точку , что выполняется при том же условии . Это, разумеется, не сопровождается появлением у - множества свойств устойчивости. В этой области семейство линий существования гомоклинических петель вида (1,n) сгущается сверху к линии существования кратных циклов .

При дальнейшем увеличении при всех попадаем в область

(1.48)

в которой всюду устойчив симметричный двухоборотной цикл 10.

Здесь ещё раз уместно напомнить, что рассматриваемое отображение моделирует свойства потока в фазовом пространстве, строго говоря, лишь при малых . Поэтому обнаружения предсказываемых бифуркаций в конкретных системах дифференциальных уравнеий естественно ожидать лишь там, где они происходят вблизи , то есть при не слишком больших

Рассмотрим теперь область отрицательных значений седловой величины. В отличие от случая , здесь разрушение гомоклинических петель сопровождается возникновением устойчивых периодических режимов, поэтому вся картина перестроек выглядит существенно иначе. При достаточно больших по модулю отрицательных отображение не имеет неподвижных точек, и все траектории уходят на бесконечность. При увеличении по достижении значения возникает два негрубых кратных цикла, каждый из которых с дальнейшим увеличением распадается на пару однооборотных циклов ( и на рисунке 1.14), координаты которых вблизи этой бифуркации удовлетворяют соотношению

(1.49)

где верхний знак соответствует неустойчивому циклу , а нижний – устойчивому L- циклу.