Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 16 )

циркулирующей жидкости, характеризует разность температур между восходящими и нисходящими потоками жидкости. пропорциональна отклонению вертикального профиля температуры от равновесного значения.

Рисунок 1.18 - Неустойчивость Бенара

Рисунок 1.19 - Ячейка Бенара, заполненная жидким гелием. Представлен режим с двумя конвективными валами. Спектр мощности () температуры x(t) при увеличивающихся числах Рэлея, которые пропорциональны r (). Уровень n-x субгармоник сравнивается со значениями из теории Фейгенбаума – штриховые линии ()

А)

Б)

В) Г)

А) экспериментальная установка цепи нелинейного RCL – осциллятора; Б) зависимость величины тока I(t+T) от I(t) представляет собой одномерное отображение с единственным максимумом; В) определение константы δ0 исходя из значений управляющего параметра V0; Г) субгармоники спектра мощности при увеличивающихся значениях V0 (а-с); сравнение с теорией Фейгенбаума – штриховые линии (d)

Рисунок 1.20 – Эксперимент - цепь нелинейного электрического RCL – осциллятора с внешним возбуждением

На рисунках 1.19 и 1.20 показаны спектры мощности, полученные в эксперименте Бенара и в цепи нелинейного электрического RCL – осциллятора с внешним возбуждением.

В работе [45] обнаружили в экспериментах с жидким гелием следующие свойства фейгенбаумовского перехода: ) с ростом разности температур (которая пропорциональна управляющему параметру r) появляются субгармоники с частотами f/2, f/4, f/8, f/16, где f – основная частота; б) последовательные субгармоники отличаются примерно на 10 дБ, что с качественной точки зрения соответствует теории ( дБ). Высшие субгармоники подавляются за счет внешнего шума.

Хотя указанные результаты почти не оставляют сомнений в том, что мы имеем дело с фейгенбаумовским переходом, однако свести описывающие систему гидродинамические уравнения к одномерному отображению Пуанкаре с единственным максимумом пока не удалось. В этом отношении ситуация несколько лучше для нелинейного RCL – осциллятора, показанного на рисунке 1.20.

Согласно работе [46] нелинейным элементом в данной цепи является варикап, который порождает следующую зависимость между зарядом и напряжением:

(1.63)

Дифференциальное уравнение для зависящего от времени заряда q имеет вид

. (1.64)

Такая цепь действует подобно аналоговому компьютеру для нелинейного осциллятора с возбуждением. На рисунке 1.20 показано, что для специальных значений V0 (которые играют роль внешнего управляющего параметра последовательные величины тока , где фактически могут быть получены при помощи одномерного отображения с квадратичным максимумом. (Ток связан с зарядом зависимостью , а величины соответствуют .) Соответствующий спектр мощности демонстрирует, как и следовало ожидать, все особенности бифуркационного перехода и позволяет получить оценку для числа , которая лишь на 10% отличается от асимптотического значения Фейгенбаума. Отметим, что имеются как теоретические, так и экспериментальные обоснования того факта, что для RCL – осцилляторов, содержащих, как в описанных выше экспериментах, диод, емкость p-n – перехода которого зависит от приложенного напряжения (варикап), хаотическое поведение вызвано не нелинейностью диода, а его большим временем восстановления. Но и эту ситуацию можно описать при помощи одномерного немонотонного отображения.

Теперь рассмотрим экспериментальные наблюдения перехода через перемежаемость. Переход к хаосу через перемежаемость был впервые исследован в работе [47], которые решали численно дифференциальные уравнения (1.56). Для y - компоненты было обнаружено поведение, показанное на рисунке 1.21.

Рисунок 1.21 - Развитие во времени одной из составляющих в модели Лоренца

Рисунок 1.22 - Перемежаемость в эксперименте Бенара. С ростом числа Рэлея вертикальная составляющая скорости в центре ячейки из периодической (а) через перемежаемость (б) становится хаотической (в)

a) зависимость I(t+5T) от I(t), соответствующая пятой итерации логистического отображения в точке касания; б) и в) измеренная средняя длина стационарной области пропорциональна (где ~), что разумно согласуется с предсказанной зависимостью (~); зависимость P от l (в единицах 5Т) при

Рисунок 1.23 - Перемежаемость в нелинейном RCL – осцилляторе

При реализация представляет собой устойчивое периодическое движение. При превышении порога колебания прерываются хаотическими всплесками, которые с ростом становятся все более частыми, пока движение полностью не хаотизируется.

Устойчивым колебаниям при соответствует устойчивая неподвижная точка на отображении Пуанкаре. При эта точка становится неустойчивой. Так как это может произойти лишь тремя путями (во всех трех случаях модули собственных значений линеаризованного отображения Пуанкаре больше единицы).

Далее будет описана два характерных эксперимента, в которых обнаружена перемежаемость 1- го и 3-го родов. (перемежаемость 2-го рода найдена в реакции Белоусова – Жаботинского [48]).

Перемежаемость 1- го рода наблюдается в эксперименте Бенара. На рисунке 1.22 показана осциллограмма вертикальной скорости. Видно, что поведение сигнала характерно для перемежаемости 1-го рода.

а) осциллограмма интенсивности света (почти пропорциональной локальному горизонтальному градиенту температуры); б) отображение Пуанкаре , построенное по данным осциллограммы () при . Амплитуды на участках всплесков не показаны. Отметим, что «призрак» неподвижной точки (кружок) является чисто отталкивающим; в) зависимость числа N стационарных участков с () от . Экспериментальные данные согласуются с кривой, полученной из (1.35) для