Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 14 )

) периодические траекторий (циклов), пара петель ) седловое соединение двух отдельных петель и появление новой отдельной гомоклинической орбиты, ) двух петельный симметричный устойчивый цикл, ) пара двух петельных несимметричных устойчивых циклов, ) появление новой двух петельной гомоклинической орбиты; четырех петельный симметричный устойчивый цикл

Рисунок 1.16 - Первые преобразования «склеивающихся» траекторий уравнения (1.39) при отрицательной седловой величине

Аналогично и в конкретных системах уравнений при выполнении естественного предположения о том, что является дифференцируемой функцией управляющего параметра системы, можно ожидать, что «накопление» бифуркаций будет происходить с предсказанной скоростью, определяемой только седловой величиной.

Рассмотрим теперь гомоклинические переходы наблюдаемые в системе дифференциальных уравнений Лоренца [6, с. 135]

(1.56)

где параметры , и вещественны и положительны. Значения параметров (1.56) выбранные Лоренцом являются , и , но в теории бифуркации обычно параметры и оставляют постоянными, а параметр меняют.

Уравнение (1.56) является симметричным относительно оси координат (х, у) →(-x, - у), и имеет стационарную точку в (0,0,0) и решения (от ), (от ), (от). Следовательно, существуют две другие стационарные точки,

(1.57)

при условии . Методом линейного анализа можно определить, что уравнение (1.56) имеет одну устойчивую точку при . При теряет устойчивость при этом рождается две нетривиальные стационарные точки, которые являются (первоначально) устойчивыми. Для определения устойчивости этих стационарных точек используем матрицу Якоби

и получаем от него уравнение

. (1.58)

Найдя корни уравнения (1.58), получаем собственные значения. Следует отметить, что из - за симметричности C- есть образ С+ , поэтому стабильность свойств двух стационарных точек одинаковые. Бифуркация стационарных точек, т. е. значений параметров, при которых либо λ = 0 или λ = iω являются решениями уравнения (1.58). При λ = 0, находим, что . Подставляя λ = iω в уравнение (1.58) и отделим действительные и мнимые части уравнения мы находим

(1.59)

Из первого уравнения имеем

(1.60)

Рисунок 1.17 - Бифуркации в системе Лоренца при фиксированных , , имеющие место при увеличении параметра . Обозначения: О – неподвижная точка в начале координат и - две ветви ее неустойчивого многообразия (сепаратрисы), и - неподвижные точки, и - неустойчивые замкнутые орбиты. (в) отвечает наличию петли сепаратрисы

Подставляя это уравнение во второе и выражая оттуда , находим порог устойчивости:

(1.61)

В этом значении , выполняются условия

, . (1.62)

Подставляя в формулу (1.61) выбранные значения Лоренцом параметры , , получим значение порога устойчивости .

Теперь обсудим, как изменяется динамика системы Лоренца, если поддерживать постоянными параметры , и увеличивать, начиная от нуля, параметр .

Как мы видели, при система Лоренца имеет устойчивую неподвижную точку в начале координат. точку О. Это единственный аттрактор системы.

При состояние равновесия О становится неустойчивым – одно из трех собственных чисел оказывается положительным, тогда как два других остаются отрицательными. Если ввести малое возмущение, то изображающая точка будет уходить от состояния равновесия вдоль некоторой специальной траектории, которую называют неустойчивой сепаратрисой или неустойчивым многообразием. Это неустойчивое многообразие одномерное (некоторая кривая линия), поскольку только одно собственное число ответственно за неустойчивость. Из свойства симметрии ясно, что имеется две ветви неустойчивой сепаратрисы и идущие от состояния равновесия О в разные стороны (Рисунок 1.17 a)). Точка О имеет также устойчивое многообразие. Оно двумерное, поскольку два собственных числа отрицательны и отвечают затуханию возмущений. Устойчивое многообразие представляет собой некоторую кривую поверхность, при старте с которой траектории идут в состояние равновесия О.

При переходе через 1 точка О перестает быть аттрактором, и аттракторами становятся вновь возникшие неподвижные точки и . Согласно соотношению (1.61) они остаются устойчивыми до довольно больших значений .

Присутствие двух аттракторов означает наличие бистабильности – в зависимости от начальных условий система приходит в конце концов в один из двух возможных устойчивых режимов. В более общем случае, когда аттракторов более одного, говорят о мультистабильности. Это одно из характерных и распространенных свойств нелинейных динамических систем.