Нелинейные эффекты в системе осцилляторов (стр. 5 )

При движении по направлению А и линии цикл теряет устойчивость либо вследствие бифуркации удвоения периода, либо вследствие бифуркации рождения тора из цикла . Резонансный тор Т2 теряет гладкость, когда мультипликаторы цикла становятся комплексно – сопряженными или один из мультипликаторов – отрицательным. В момент бифуркации длина инвариантной кривой в сечении тора становится бесконечной (рисунок 1.4,), что означает разрушение тора. При дальнейшем движении по направлению А может образоваться хаотический аттрактор либо в результате последовательности бифуркаций удвоения периода, либо через разрушение тора, родившегося на линии .

При движении по направлению В неустойчивые многообразие седлового цикла образующее поверхность тора, искривляется и на линии происходит его гомоклиническое касание с устойчивым многообразием (рисунок 1.4, б). В этот момент () образуется негрубая гомоклиническая кривая Г0, а тор разрушается. При возникают две грубые гомоклинические кривые и гомоклиническая структура циклов и хаотических траекторий в их окрестности. Однако аттрактором остаётся цикл , а хаотическая динамика может возникнуть только в том случае, если он исчезнет или потеряет устойчивость. Так, при пересечении границы области

Рисунок 1.4 - Качественный вид инвариантной кривой в сечении в момент разрушения тора Т2 при движении по направлениям А, В, С (соответственно (a), (б), (в)), указанным на рисунке 1.3, б)

синхронизации выше линии наблюдается переход к хаосу, сопровождающийся перемежаемостью I типа.

Направление С также соответствует искажению многообразия при подходе к устойчивому циклу Разрушение тора происходит при переходе через линию касательной бифуркации . Пусть в момент бифуркации инвариантная кривая в сечении тора стала негладкой (рисунок 1.4, в). Это означает, что при последовательном применении отображения Пуанкаре образ малой окрестности некоторого куска неустойчивой сепаратрисы седло – узла изогнут, как подкова. Исчезновение седло – узла приводит к возникновению в его окрестности отображения типа подковы Смейла [32], порождающего счётное множество седловых циклов и непрерывное множество непериодических гиперболических траекторий, которые при некоторых дополнительных условиях могут сформировать хаотический аттрактор.

Таким образом, рассмотренные в теореме механизмы разрушения резонансного тора приводят к образованию в окрестности тора хаотического множества, которое может стать притягивающим. Хаотический аттрактор порождается отображением типа подковы с гладким изгибом и является квазиаттрактором. Описанные механизмы возникновения хаоса связаны с бифуркациями резонансных циклов на торе. Они не ведут к резкой перестройке поглощающей области и поэтому составляют бифуркационный механизм мягкого перехода к хаосу. Общий характер выводов теоремы о разрушении тора был подтвержден численными и натурными экспериментами для широкого класса дискретных и потоковых систем. Если в эксперименте попытаться проследить за эволюцией инвариантной кривой в сечении тора, изменяя параметры таким образом, чтобы число вращения оставалось иррациональным, можно увидеть следующее: перед разрушением форма инвариантной кривой в сечении эргодического тора искажается, повторяя форму неустойчивого многообразия седлового резонансного цикла. Затем происходит потеря гладкости и разрушение эргодического тора, но хаос возникает не сразу, так как в окрестности разрушившегося тора с иррациональным числом вращения в фазовом пространстве динамической системы существуют еще не разрушившиеся резонансные торы, которые являются аттракторами системы. Таким образом, переходу к хаосу всегда предшествует резонанс на Т2. Линия разрушения тора на плоскости двух управляющих параметров имеет сложную структуру. Она состоит из счётного множества отрезков линий, на которых происходит разрушение резонансного тора в соответствии с указанными теоремой механизмами, и множества точек разрушения эргодического тора, имеющих совокупную нулевую меру.

Рассмотрим в качестве примера отображение окружности, в котором происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний.

Наиболее простое, но характерное отображение окружности задается в виде:

1, (1.13)

где угол определен в интервале [0;1]; и - параметры отображения. Форма задания функции почти не существенна (как и в случае с логистическим отображением), но должны выполняться следующие условия: 1) 2) при функция и обратная функция существуют и дифференцируемы (т. е. отображение есть диффеоморфизм окружности); 3) при функция теряет дифференцируемость в точке , а при не существует однозначной обратной функции. Для (1.13) все эти условия выполняются, причем .

Динамика точки в отображении окружности характеризуется числом вращения :

(1.14)

Оно представляет собой средний угол поворота изображающей точки на окружности за одну итерацию. Для гладкого взаимно однозначного отображения (т. е. в случае ) предел (1.14) существует и не зависит от начальной точки . Из этого факта следует, что при иррациональном значении числа вращения отображение (1.13) не имеет неподвижных точек, а при рациональном значении (где p и q – взаимно простые числа) отображение окружности имеет чётное число устойчивых и неустойчивых неподвижных точек кратности q, т. е., по крайней мере, один устойчивый и один неустойчивый q – цикл отображения. Числитель p определяет число полных оборотов по окружности за q итераций. Резонансная структура, соответствующая рациональному значению числа вращения, является грубой. Каждое рациональное значение сохраняется неизменным в некоторой области изменения параметров (в языке Арнольда). Зависимость числа вращения от параметра называется «чёртовой лестницей» и представляет собой фрактальную кривую, состоящую из бесконечного числа «ступенек», соответствующих иррациональным значениям . При К=0 число вращения для (1.13) совпадает с параметром и имеет множество рациональных значений меры нуль. При мера как рациональных, так и иррациональных значений числа вращения отлична от нуля. С ростом К мера рациональных значений растёт, а иррациональных – убывает, обращаясь в нуль на критической линии К=1 (сумма длин всех ступенек равна единице). Однако при К=1 ещё имеется счётное множество точек с иррациональными значениями числа вращения.