Прикладная экономика для экономистов и менеджеров (стр. 12 )

2. Найти предельные полезности мяса, взяв за единицу отклонения 50 г.

3. Найти оптимальную полезность мяса для данного потребителя.

Решение

2. при Dх = 50 г.

таблица.

3. Оптимум U=46 при х = 400 г/день.

График предельной полезности четко показывает падение скорости U с ростом потребления мяса. После max знак производной меняется и скорость становится отрицательной.

Задача 3. Имеется два различных продукта: груши и яблоки. Потребителю предлагаются наборы этих фруктов для классификации. Порядки предпочтений потребителя в 2 экспериментах определены таблицей.

Наборы	х1	х2	Наборы	х1	х2
А1	15	30	В1	18	40
А2	18	25	В2	21	34
А3	21	21	В3	24	29
А4	24	18	В4	27	25
А5	27	16	В5	30	22
А6	30	15	В6	33	20
			В7	37	19

1. Чем характеризуется безразличие этого потребителя?

2. Построить кривые безразличия для него.

3. В каком соотношении находятся наборы А6 и В1; А2 и В6, Аi и Bj.

4. Каково отношения замещения груш и яблок для потребителя?

Решение.

1.  6 в случае Аi и 7 наборов в случае Bj одинаковы по полезности для потребителя. Увеличение числа груш на 3 для него важнее убывания числа яблок.

2.

 

3. Потребитель установил следующие отношения: А1~ А2~.... А6 Аi~ Аk; B1~ B2~... B7 Bj~ Bk. B1>A1, т. к. В1 больше фруктов B1>A1 (т. к. А1~А6). Отсюда В6~В1>A1~A2=>B6>A2. Также Вj>Ai.

4.

Для точки А2 ; А3 = 1,33; 1; 0,66; 0,33.

1,66 яблока равны 1 груше, далее убывает замещение

2. Оптимальный выбор потребителя.

Графически для случая двух благ х и у решение потребителя выражается точкой пересечения линии бюджета В с кривой полезности U1 (рис. 3.4).

Если цена блага х равна р1, а блага у - р2, то общие затраты потребителя равны р1х+р2у. Естественно, эти затраты не могут превосходить дохода В потребителя р1х+р2у<В. Линия бюджета будет являться прямой линией, точки пересечения с осями даны значениями В/р2 и В/р1.

Если бюджет равен В, то количество блага у, которое может купить потребитель, равно: .

Прямая бюджета представляет множество пар благ, которые могут быть куплены потребителем пи полном расходе бюджета. При увеличении бюджета линия бюджета перемещается вверх (рис. 3.5.), при уменьшении - вниз. Влияние цен выражается перемещением линии бюджета (рис. 3.6.).

Снижение цены х ведет к возрастанию количества покупаемых благ х, т. е. к смещению линии бюджета вправо по оси х. Доказательство этого вывода простое: из уравнения бюджета , p`1<p2=>x`>x.

Равновесие потребителя определяется логикой выбора им благ. Он выбирает наиболее предпочтительные блага среди тех, которые входят внутрь пространства бюджета. Рассмотрим логику этого решения. Линия EF определяет бюджет потребителя, т. е. его возможности покупать блага. На линии EF находятся все возможные наборы благ, дающие разную степень удовлетворения потребителя. Тоска А и тоска D дают меньшее удовлетворение U1, чем точка C (U2, U2>U1). Точка С дает максимально возможное удовлетворение потребителя.

Эта точка С характеризует равновесие потребителя, т. к. она удовлетворяет одновременно и максимизации полезности и ограничению бюджета.

Математически это решение задачи поиска экстремума функции полезности:

U(x, y) ® max

при ограничении на денежные ресурсы B (бюджет) потребителя:

p1x + p2y <= B

Геометрически решение (x*,y*) – точка касания линии бюджета y=B/p1 – p1/p2 – x и кривой безразличия U(x, y) (рис. 3.4).

max U(x, y)

x, y

при ограничении p1x + p2y = B

Наиболее удобным методом решения такой задачи оптимизации является метод множителей Лагранжа. Суть его заключается в построении формы Лагранжа - лагранжиана - для этой системы в виде:

L(x, y,l) = U(x, y) + l(B-p1x-p2y)

Затем находим частные производные:

Равенство их нулю дает решение данной задачи - точки равновесия потребителя.

Из этих условий очевидно или ,

что дает условие равновесия . Эта точка равновесия находится из условия равенства предельной степени замещения отношению цен.

Метод получения необходимых условий в задаче определения экстремума функции

f(x1, ... ,xn) (1)

при ограничениях

gi(x1, ... ,xn) = bi (2)

заключающихся в использовании множителей Лагранжа li; i=1,m, построении функции Лагранжа

и приравнивании к нулю ее частных производных по хi и li, называется методом Лагранжа.

В этом методе оптимальное значение х* = (x1* , ... ,xn*) находится вместе с соответствующим ему вектором l* = (l1* , ... ,ln*) из решения соответствующих (m+n) уравнений.

li допускают строгую интерпретацию: пусть х* доставляет условный экстремум f(x) при ограничениях (z), z*=f(x*). Значения l*, z*, x* зависят от bi - правых частей ограничений (2).

Следовательно, хj*, l*j являются функциями вектора (b1, ... ,bm). Частные производные от экстремума z* по bi равны соответствующим множителям Лагранжа хj*, вычисленным при данном b=(b1, ... ,bm):

Если z - доход или стоимость, bi - затраты ресурсов, тогда размерностью li будет отношение единицы дохода к единице i-того вида ресурсов. Числа l*j показывают, как изменится максимальный доход, если количество i-того ресурса увеличится на единицу. По сути дела, Лагранж в 1868 г. впервые ввел в решение задач маргинальные величины.

3. Необходимо определить наборы благ х и у, которые максимизируют полезность U(x, y) при переменном бюджете. В нашем случае всегда х=4у. Тогда, учитывая замещение благ, имеем:

В - х1 - 2у = 0

В - 6у = 0, откуда и

B	2	4	6
U	4

Кривые Энгеля - это функция, которая связывает купленное количество блага в равновесии с уровнем денежного дохода.

4. При переменной цене р2 имеем

В = х + р2у

Потребитель и в этих условиях должен максимизировать функцию полезности, т. е. производные Лагранжиана должны быть равны нулю:

L(x, y) = x1/2y1/4 + l(B - x - p2y)

Аналогично предыдущим подстановкам:

, откуда х = 2у*р2

Тогда В-2у*р2-р2у=0 и

Эти значения у и х дают оптимальный выбор потребителя.

Если взять переменной величиной р1, то получим таким же образом:

Можно найти зависимость полезности от цены и бюджета U(B, p2), которая показывает, что удовлетворение потребителя растет с ростом бюджета и обратно пропорционально ценам благ.

Рисунок 3.8.

3.2.2 Общий и предельный доход

Одним из показателей успеха фирмы является общий доход, образованный от продаж продукции. Общий доход является основой фирмы.

Рассмотрим таблицу дохода фирмы. Общий доход определятся парой цена - количество. Из таблицы видно, что доход убывает при цене ниже 5$ и нарастает от 10$ до 6$.

Приведенные значения маргинального дохода MR показывает прирост дохода на еще 1 единицу продукта. При увеличении продукции с 4 до 5 предельный доход меняется с 4 до 2. Т. е. доход убывает при увеличении количества.