Прикладная экономика для экономистов и менеджеров (стр. 13 )

TR=PV*Q при PV=a-bQ TR=aQ-bQ2, т. е. описывается параболой при линейной функции спроса. MR==a-2bQ, т. е. изменяется линейно с ростом Q(рис. 3.9)

TR

Эти соотношения хорошо видны на графике

Рисунок 3.9.

Рисунок 3.9 показывает соотношение между кривой спроса и предельным доходом. Эти кривые начинаются в одной точке - цене р. При линейной кривой спроса эти графики проходят по разному, MR левее D.

Уравнение предельного дохода может быть выведено из уравнения функции спроса.

Пусть уравнение спроса Q=B+apP, ap<0.

Разрешая его относительно цены, имеем

Для полного дохода умножим р на Q

Дифференцированием найдем предельный доход

Уравнение показывает, что предельный доход имеет ту же точку пересечения (-В/ар), что и кривая спроса 2/ар показывает удвоенный наклон линии MR по сравнению с кривой спроса.

При MR =0 Q=В/2. Эта точка соответствует максимуму функции общего дохода.

Для Q<В/2 предельный доход положителен и растет. Для Q>В/2 MR отрицателе и убывает.

Ключевые концепты:

- предельный доход определяет прирост дохода на 1 ед. продукции;

- MR =0, когда TR достигает max и отрицателен после этой точи;

- для линейной кривой спроса угол наклона MR вдвое больше угла функции спроса.

Ценовая эластичность

Повышение цены не всегда ведет к повышению TR. Оно зависит от поведения потребителей. Оно может быть определенным для менеджера, если он знает точно влияние цены на величину предельного дохода. Для этого рассматривается ценовая эластичность спроса.

Ер указывает % изменения Q при 1% изменения р.

Эластичность может иметь разные значения.

Примеры. -1, -10, -20.

Если имеются измерения Q1, Q2, p1, p2 до и после изменения цены, то

Упрощая,

где p1, Q1 - до изменения, начальные;

p2, Q2 - после.

Пример: эластичность рынка игральных карт

Задача 1.

Функция полезности потребителя дана выражением U(x, y)=x1/2y1/4

1. Определить полезность при х=4, у=1. Рассчитать увеличение полезности при увеличении х на Dх=1. Сравнить эту величину DU(Dx) с предельной полезностью в этой точке. Рассчитать замещение второго блага у первым (TSB).

2. Цены благ р1=1, р2=2 и доход потребителя В=10. Определить потребление, максимизирующее удовлетворение потребителя.

3. Определить оптимальный выбор потребителя для любой величины бюджета. Определить зависимость U от бюджета.

4. Пусть р2 принимает любое значение. Определить спрос потребителя на блага х и у.

Решение.

1. Подставляя значения х и у в функцию полезности, имеем U(4,1)=41/211/4=2 ед. пол.

Dх=1, тогда DU=(4+1,1)-U(4,1)=2,236-2=0,236 ед. пол.

Предельная полезность

Предельная полезность близка к приросту DU, но по величине TSB в точке (4,1) определяется отношением предельных полезностей

Потребитель предпочитает 2 единицы х за одну единицу у, т. е. для него значительно ценнее у.

2. Область покупательных возможностей потребителя D(x, y) дана уравнением

D(x, y)=1*x+2y<10

Область D(x, y) представлена треугольником ОАВ. Потребитель ищет наибольшую полезность max U(x, y) при ограничении х+2у=10.

Необходимым условием, чтобы пара (х, у) максимизировала удовлетворение потребителя, является равенство нулю производных Лагранжа:

L(x, y) = x1/2y1/4 + l(10- - x1 - 2y):

Из (1) и (2) имеем соотношение откуда

или х=4у.

Учитывая это соотношение и ограничения (3), получаем ; х=20/3 (т. к. ).

При этом максимальное удовлетворение равно:

Umax=U(20/3,5/3)=2,93 ед. полезн.

Задача.

Функция полезности потребителя задана выражением U(x, y)=x3/2y3/4.

Определить

1) полезность при х=5, у=2. Найти изменение функции полезности при Dx=1, Dy=1, сравнить ее с предельной полезностью в этой точке. Рассчитать TSB и дать комментарии.

2) цены р1=2, р2=1, В=20. Определить оптимальный выбор (х*,у*) потребителя, прокомментировать его.

3) пусть р1=var, определить спрос потребителя на блага х, у.

4) в теории поведения потребителя прирост полезности уменьшается с ростом количества уменьшаемых благ. Как это согласуется с нашей теорией?

5) объяснить: предпочтение потребителя зависит от цен или независимо от них.

Решение.

1. Полезность при х=5 у=2 U(x, y) =53/223/4=18,802 ед. пол.

при Dх=1 U(x+1,y)=63/223/4=24,717 ед. пол.

DU(6,2)-U(5,2)=5,915 ед. пол.

Прирост блага х увеличивает степень удовлетворения потребителя на ~ 6 ед. пол.

при Dу=1 U(x, y+1)=53/233/4=25,185 ед. пол.

DU=U(5,3)-U(5,2)=6,683 ед. пол.

Вывод: благо у полезнее блага х в данной точке в 1,13 раза (6,683:5,915=1,13)

2. Расчет предельной полезности блага х и у

Uпр. х=3/2х1/2*у1/4=3/2*51/221/4=3,989 ед. пол. на единицу приращения х предельная полезность блага х меньше прироста функции DU от Dх, т. к. 5,915>3,989

Uпред=3/4у-1/4х3/2=3/4у-1/4х3/2=3/4*53/2*1/21/4=7,05 ед. пол.

Предельная полезность блага у больше приращения функции полезности (7,05>6,683), хотя они близки.

3. Замещение благ

Потребитель предпочитает 5 величин у за 4х, т. е. оценка потребительной стоимости у в 5/4 раза ниже, чем х т. е. если потребитель потребил благо х на 1 ед. больше, то общая полезность не уменьшится, если он уменьшит потребление у на 4/5 единицы.

2. р1х+р2у=В

х=0 у=20=В/р2

у=0 х=10=В/р1

Найдем точку (х*,у*), максимизируем полезность Umax методом множителей Лагранжа.

L(x, y) = x3/2y1/2 + l(20- - 2x - y):

подставим это соотношение в (3):

2х+у=20 => х*=20/3=6,67

Аналогично у*=6,67

Umax=6,673/2*6,673/4=71,42 ед. пол.

3. р1=var, p2=1. B-p1x-y=0.

Строим Лагранжиану:

L(x, y) = x3/2y3/4 + l(В - р1 x - y):

Делим (1) на (2)

Цена здесь выступает в роли регулятора соотношения благ х и у по полезности, т. е. выбора потребителя.

Подставим это соотношение в (3)

Количества благ в оптимальном варианте будут определяться ценой, т. е. спрос потребителя зависит от цены р1.

4. Неоклассическая теория полезности представляет гипотезу об убывающей предельной полезности. Если зафиксировать потребление второго блага на постоянном уровне и увеличивать при этом потребление первого блага, то полезность будет возрастать (т. е. предельная полезность ). Вместе с тем эта полезность не будет расти в той же степени, что и объем потребления (т. е. ), в чем и заключается смысл убывающей предельной полезности, т. е.

Это функции вогнутые.

Если увеличение спроса на одно благо ведет к падению спроса на другое благо, то эти два блага находятся в отношениях взаимозаменяемости (кофе и чай). Если при увеличении спроса на одно благо растет спрос и на другое, то они являются взаимодополняющими благами (чай и сахар). Это отражается в значениях показателей замещения TSB.

5. Цена является регулятором спроса. Из выводов 3 вопроса видна зависимость количества покупаемых благ от переменной цены. Спрос определяется ценой блага.

3.3 Построение функции спроса

B=pxx+1*q, рассматривая деньги как второе благо.

pq=1 q=B-pxx

Например, для рынка черешни имеем

Цены	р1	р2	р3	р4
	15 т. р.	20 т. р.	30 т. р.	50 т. р.

В = 100 т. р. = const