Сборник задач по физике (стр. 17 )

где k – постоянная  Больцмана, Т – термодинамическая температура газа.

Подставив (3) в (2), выразим из полученной формулы концентрацию молекул:

  ,  (4)

Подставив (4) в (1), получим

.

Вычислим искомую длину свободного пробега молекул:

2. Средняя частота столкновений молекул газа связана с длиной свободного пробега соотношением:

  ,  (5)

где – средняя арифметическая скорость молекул. Ее можно определить по формуле:

  ,  (6)

где R – молярная газовая постоянная; М – молярная масса воздуха.

Подставив (6) в (5), после преобразования получим

  .  (7)

Вычислим искомую частоту столкновений:

.

Пример 6. Определить среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа при давлении Па, если плотность газа кг/м3.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа выражается формулой:

  ,  (1)

где R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура газа; М – молярная масса.

Для определения неизвестных величин Т и М воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона:

,

откуда

  .  (2)

Подставив из (2) в (1), получим:

  .  (3)

Вычислим искомую скорость молекул:

= 389 м/с.

Пример 7. Определить, при каком градиенте плотности углекислого газа через каждый квадратный метр поверхности почвы продиффундирует в атмосферу в течение 1 ч масса газа мг, если коэффициент диффузии см2/с.

Решение. Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом Фика:

  ,  (1)

где D – коэффициент диффузии; – градиент плотности, т. е. изменение плотности, приходящееся на 1 м толщины слоя почвы; S – площадь поверхности слоя; t – длительность диффузии.

Из (1) выразим искомый градиент плотности:

  .  (2)

Вычислим градиент плотности:

кг/м4= –0,05кг/м4.

Отрицательное значение градиента плотности соответствует сущности процесса диффузии: зависимость плотности от расстояния в направлении движения диффундирующей массы выражается убывающей функцией, градиент которой - отрицательная величина.

Пример 8. Определить количество теплоты, теряемое через бетонные стены здания площадью м2 за время мин, если в помещении температура стены С, а снаружи С. Толщина стен см.

Решение. Количество теплоты, передаваемое за счет теплопроводности стен, выражается законом Фурье:

  ,  (1)

где – теплопроводность материала стены; – градиент температуры, т. е. изменение температуры, приходящееся на 1 м толщины стены; S – площадь поверхности стены; t – время передачи теплоты.

Подставим числовые значения величин в формулу (1) и вычислим:

Пример 9. Воздух, взятый при температуре С, был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в три раза. Определить температуру воздуха после сжатия.

Решение. Зависимость между температурой и объемом при адиабатном сжатии выражается уравнением Пуассона:

  ,  (1)

где , – соответственно термодинамическая температура и объем до сжатия воздуха; , – те же величины после сжатия воздуха; – отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме.

Из теории теплоемкостей газов известно, что

,

где i – число степеней свободы молекулы газа.

Так как воздух – газ двухатомный, то и, следовательно,

.

Из формулы (1) получим:

  .  (2)

Подставим числовые значения К, , в (2):

.

Прологарифмируем обе части полученного равенства:

.

По значению lg Т2, пользуясь справочной таблицей, найдем

К, или

Пример 10. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру С. Определить температуру холодильника, если ѕ теплоты, полученной от нагревателя, газ отдает холодильнику.

Решение. Термический КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, выражается формулой

  ,  (1)

или, как и для любого цикла,

  ,  (2)

где и – соответственно термодинамические температуры нагревателя и холодильника; – теплота, полученная газом от нагревателя; – теплота, отданная газом холодильнику.

Приравняв правые части формулы (1) и (2), получим:

  .  (3)

После преобразований уравнение (3) примет вид , откуда

  .  (4)

Подставив числовые значения , в (4) и вычислим:

, или С.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Вычислить массу молекулы воды.

2.2. В озеро глубиной  h=20 м и  площадью S = 10 км2 бросили кристаллик поваренной соли массой m= 0,010 г. Сколько молекул этой соли оказалось бы в наперстке воды объемом см3, зачерпнутом из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась по всему объему озера?