Сборник задач по физике (стр. 21 )

E=E1+E2.

Модуль результирующей напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах Е1 и Е2:

  .  (1)

Модуль напряженности электрического поля точечного заряда выражается формулой:

  ,  (2)

где Q – величина заряда, создающего поле; – электрическая постоянная; – диэлектрическая проницаемость среды; r – расстояние от данной точки поля до заряда, его создающего.

Так как , то имеем

  , .  (3)

Поскольку , проведем следующие преобразования:

  , .  (4)

Подставив (3) и (4) в (1), получим:

  .  (5)

Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим

       В расчетную формулу (5) подставлены модули зарядов, поскольку их знаки были учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

  .  (6)

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой:

  .  (7)

В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (7) в (6) и учитывая, что , получим:

  .  (8)

Подставим числовые значения величин в (8) и вычислим:

Пример 4. Электрон, начальная скорость которого Мм/с, влетел в однородное электрическое поле перпендикулярно  линиям напряженности и пролетел его за время нс. Определить работу сил поля, скорость покидающего поле электрона и отношение работы сил поля к приращению кинетической энергии электрона. Напряженность поля кВ/м.

Решение. На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила

  F=eE,  (1)

где е – заряд электрона.

Направление этой силы противоположно направлению вектора напряженности поля, т. е. перпендикулярно вектору скорости электрона. Работа этой силы выражается формулой

  Рис. 26  ,  (2)

где – разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории электрона в поле.

В однородном электрическом поле, где эквипотенциальные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными линиям напряженности поля, разность потенциала выражается формулой

  ,  (3)

где l – расстояние между эквипотенциальными поверхностями и (рис. 26).

Движение электрона в электрическом поле по условию задачи является сложным движением, состоящим из двух взаимно перпендикулярных простых движений: равномерного со скоростью и равноускоренного в направлении действия силы F. Равноускоренное движение началось в момент попадания электрона в электрическое поле. Скорость равноускоренного движения из состояния покоя (движение, параллельное линиям напряженности электрического поля) выражается формулой:

  ,  (4)

где а – ускорение, определяемое, в свою очередь, по второму закону Ньютона:

  ,  (5)

где – масса электрона.

Величина l – расстояние, пройденное электроном при равноускоренном движении из состояния покоя за время t нахождения электрона в поле, может быть определено по формуле:

.

Подставив последовательно (1) в (5) и в выражение для l, а затем в (3) и, наконец, в (2), получим:

  .  (6)

Подставим числовые значения величин в (6) и вычислим:

В соответствии с правилами векторного сложения скоростей в конечной точке пути электрона в поле имеем:

v=v0+v,

или, учитывая, что v0  vвзаимно перпендикулярны, получим:

  .  (7)

Подставив (1) в (5), затем в (4) и, наконец, в (7), получим:

  ,  (8)

где м/с.

Подставим числовые значения величин в (8) и вычислим

м/с.

Отношение работы поля к приращению кинетической энергии электрона выразим формулой:

  .  (9)

Из формулы (8) следует, что

  .  (10)

Подставив (6) и (10) в (9), определим требуемое отношение:

.

Пример 5. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого см, заряжен до разности потенциалов В и отключен от источника. Площадь пластин конденсатора см2. Определить заряд конденсатора. Как изменяется емкость, разность потенциалов, энергия конденсатора и объемная плотность энергии его поля, если в пространство между ними поместить плитку из фарфора  толщиной см и прижать к ней пластины?

Решение. Емкостью конденсатора называют величину, равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между пластинами:

  .  (1)

Зависимость емкости конденсатора от его размеров выражается формулой:

  .  (2)

Выразив из (1) искомый заряд и подствив (2) в полученную формулу, находим:

  .  (3)

Из формулы (2) видно, что изменение вида диэлектрика и расстояния между пластинами конденсатора приводит к изменению его емкости:

  .  (4)

Разделив почленно (2) на (4), получим

  .  (5)

Вычислим это отношение, учитывая, что , м:

.

Следовательно, емкость конденсатора увеличилась в 25 раз.

Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состоянии выражается формулами: