Сборник задач по физике (стр. 5 )

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска или сплошного цилиндра радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости основания:

г) однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр:

Теорема Штейнера:

где – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

Общее условие равновесия тела гласит, что для того, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы были равны нулю равнодействующая приложенных к телу сил и сумма моментов этих сил относительно оси вращения:

FFi = 0; Mi = 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Два шарика с массами m1=40 г и m2=10 г, надетые на горизонтальный стержень (рис. 7), связаны нитью длиной l=20 см. Определить силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шариков о стержень пренебречь.  Рис.7

Решение. В данном случае нормальные ускорения шариков вызваны действием сил натяжения Т1 и Т2. Поскольку шарики не смещаются относительно оси вращения, то Т1=Т2. Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Тогда

поэтому

Сила натяжения нити будет равна:

Пример 2. Шарик массой 200 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1 м, а ее угол с вертикалью составляет 600.

       Решение. На шарик действуют: mg – сила тяжести, Т - сила натяжения нити (рис.8). Запишем для шарика уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:  Рис. 8

mg+Т = ma.

       Спроецируем это уравнение на выбранные направления осей X и Y:

    (1)

       Учитывая, что (шарик не движется в вертикальном направлении, R – радиус окружности), , и подставляя выражение для ах, ау и R в (1), получаем:

    (2)

       Решив уравнения (2) получим:

        При равномерном движении шарика по окружности его период вращения

Пример 3. Тело массой кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна , длина стержня см. Определить силу натяжения стержня: 1) в верхней и 2) в нижней точках.

Решение. 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжестии  Рис. 9

сила натяжения Т стержня (рис.9). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т. е. с центростремительным ускорением

  ,  (1)

где – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что , можем записать

  .  (2)

Направление сил Т1 и Р совпадает с вектором ац. с, поэтому второй закон Ньютона запишем в скалярном виде:

  ,  (3)

или с учетом (2)

  ,  (4)

откуда

  .  (5)

Выразим в СИ числовые значения R и g: R=0,125 м, g=9,81 м/с2.

Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:

.

2. В нижней точке траектории на тело действуют (рис.10) те же силы и Т2. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору ац. с. В связи с этим второй закон Ньютона имеет вид

  Рис.10

,

откуда

.

После подстановки имеем

Пример 4. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r=20 см, был раскручен до частоты n1=480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под воздействием трения маховик остановился.

       Найти момент М сил трения, считая его постоянным, принимая, что: а) маховик остановился через t=50 c; б) маховик до полной остановки сделал N=200 об.

       Решение. а). По второму закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента

где J – момент инерции маховика, и – начальная и конечная угловые скорости, соответственно.

Так как то

Откуда

  (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси

 

Подставив выражение момента инерции в формулу (1), найдем:

    (2)

Выразим угловую скорость маховика через частоту вращения

рад/с=50,2 рад/с.

Подставим числовые значения в формулу (2), получим

Н·м = –1 Н∙м.

б). В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому следует применить формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

или

    (3)

так как

Работа при вращательном движении определяется по формуле: