Кислотное воздействие на горные породы (стр. 34 )

Однако необходимо понимать, что детальность получаемых данных, а также указанные выше особенности трещиноватых сред, безусловно, приводят к трудностям моделирования процессов фильтрации при наличии трещин.

В середине прошлого века в работах [25, 26] была предложена модель двойной пористости и двойной проницаемости, в которой среда представляется в виде двух сообщающихся между собой континуумов, причем система трещин предполагается связной. Необходимо отметить, что при использовании в численных расчетах модели двойной среды происходит удвоение числа неизвестных, что может оказаться критичным для рассмотрения сложных многофазных многокомпонентных неизотермических течений с учетом химических реакций. В работе [27] для учета субсейсмических трещин, характерное расстояние между которыми достаточно велико - порядка 10 м, а протяженность порядка 102 м, была построена модель single porosity, описывающая свойства среды в рамках единого континуума, при этом как абсолютная, так и относительные фазовые проницаемости имели скалярный характер, а для описания этапа быстрого продвижения воды по трещинам последние обладали специфическим видом.

Такое приближение оказалось разумным, и авторам удалось уловить в расчетах с помощью этой модели особенности заводнения пилотного участка одного из крупнейших месторождений Ближнего Востока. Следует отметить, что размеры субсейсмических трещин, а также то обстоятельство, что, как правило [21, 27, 28], на этапе расчета фильтрационных течений геометрия трещин считается заданной, позволяют говорить о детерминированном распределении особенностей в виде трещин в некоторой среде, эффективные фильтрационные параметры которой требуется определить.

Из практики известно, что во многих случаях среда обладает анизотропией, причем примером объекта, проявляющего значительные анизотропные свойства, является именно трещиноватая среда. Анализ возникающего в связи с этим обстоятельством вопроса об учитывающем анизотропию выражении для перетока между трещинами и матрицей в модели двойной среды проведен в [29] и ограничивается теоретическими выкладками для случая напорного механизма обмена между матрицей и трещинами [30], что затрудняет его использование в общем случае. Подход single porosity в ряде задач оказывается эффективным, однако требует более корректного учета анизотропии, особенно в многофазном случае [31].

Другой особенностью процессов фильтрации жидкостей в трещиноватых средах является наличие множества характерных масштабов, как по времени, так и по пространству.

Что касается пространственных масштабов, в большинстве случаев объем трещин значительно меньше объема порового пространства.

Таким образом, в трещиноватых средах имеет место существенная разномасштабность по пространству.

В силу того, что проницаемость системы трещин во много раз больше проницаемости поровых каналов, скорость движения жидкости по трещинам значительно больше скорости движения по порам, что приводит к разным временным масштабам.

В работах [62, 64], в рамках классического подхода, рассматривается однофазная фильтрация. Предполагается, что течение подчиняется закону Дарси [1].

Основным параметром среды, определяющим скорость, то есть величину и направление потока флюида, является проницаемость. Поэтому она является ключевым параметром при укрупнении, в то время как скалярные свойства, обладающие свойством аддитивности, такие как, например, пористость, могут быть построены простым усреднением по объему. Под проницаемостью подразумевается блоковая проницаемость [38] - эквивалентная исходным свойствам проницаемость конечного объема среды, различные подходы к вопросу построения которой рассмотрены в обзорах [37-40]. При этом необходимо понимать, что невозможно получить полное соответствие между усредненной однородной и исходной неоднородной средой. Необходимо выбрать критерии для оценки эквивалентности двух сред.

Первый критерий - равенство потоков: потоки через границу рассматриваемого объема среды должны быть одинаковыми в смысле некоторой нормы. Второй часто используемый критерий [41] - равенство энергий диссипации вязких сил.

В работе [42] используется подход независимой фильтрации по двум направлениям, при этом для симметризации налагаются дополнительные ограничения, приводящие к переопределенной системе. В работе [43] среда рассматривается как система параллельных друг другу слоев, что затрудняет применение предложенного в ней метода в более сложных случаях. В [41] доказана эквивалентность двух вышеперечисленных критериев для метода, предложенного в [44]. Кроме того, показано, что тензор проницаемости, получаемый при помощи данного метода, симметричный и положительно определенный. Недостатком является предположение об определенном виде граничных условий, а именно их периодичности, что налагает ограничение на класс рассматриваемых полей проницаемости [45].

В работах [46-51] предлагается универсальный алгоритм, не требующий никаких дополнительных предположений о свойствах коэффициентов, таких как периодичность, изотропность, или о специальном расположении линий разрывов. Используется энергетический критерий: основная идея заключается в определении эффективного тензора проницаемости на основе равенства непрерывной и разностной энергий на линейной оболочке системы базисных функций, имеющих те же особенности, что и точное решение. Предположения об ограниченности коэффициента проницаемости или соответствующей квадратичной формы в случае тензорных коэффициентов, сформулированные в [50], никак не ограничивают применимость данного метода для обсуждаемого здесь класса задач. Получаемый эффективный тензор симметричен, кроме того, показано [46-48], что при определенном виде аппроксимации уравнений фильтрации можно получить равенство потоков, которое в общем случае выполняется в слабом смысле. В перечисленных работах показана применимость данного метода для широкого класса задач: как для задач однофазной фильтрации, так и для задач упругости.

Однако даже при корректном осреднении абсолютной проницаемости результаты расчета укрупненной задачи в многофазном случае могут заметно отличаться от полученных при расчете исходной задачи. Одна из причин лежит в затронутой выше разномасштабности процессов эволюции давления и насыщенности, а именно, характерный пространственный масштаб изменения насыщенности оказывается существенно меньшим масштаба изменения давления, при том, что распределение давления устанавливается мгновенно, а затем медленно по сравнению с насыщенностью эволюционирует по времени. Алгоритм осреднения должен учитывать эту разномасштабность.

Эксперименты демонстрируют [3,6], что в широком диапазоне условий совместного течения и вытеснения двух фаз в пористых средах относительные проницаемости зависят только от насыщенности одной из фаз. Для трещиноватых сред данное обстоятельство объясняется тем, что поскольку процессы быстрого заводнения трещин и медленного вытеснения нефти из пор в силу их разномасштабности можно считать разделенными по времени, а каждый из них определяется зависимостью потока от насыщенности, то общий процесс можно считать зависящим только от средней насыщенности, тем самым исключив зависимость от времени. Кроме того, это также справедливо в связи с тем, что при вытеснении средняя насыщенность одной из фаз монотонно возрастает со временем, поэтому существует взаимно-однозначное соответствие, что позволяет выбрать насыщенность одной из фаз в качестве единственного аргумента функции, описывающей эффективные параметры.

Если распределение давления, в основном, определяется величиной абсолютной проницаемости, то для описания многофазных эффектов, связанных с насыщенностью, естественно найти эффективные относительные фазовые проницаемости, поскольку именно их величина, умноженная на значение абсолютной проницаемости, определяет скорость переноса фазы при фильтрации слабосжимаемых флюидов.

Многочисленные экспериментальные данные [19, 20] демонстрируют наличие определенных видов симметрии трещиноватых сред, поэтому анализ фильтрационных свойств таких объектов, особенно в многофазном случае, представляет значительный интерес. В работе [71] при помощи численно-аналитического метода на основе стационарного приближения капиллярного равновесия проведено исследование функций относительных фазовых проницаемостей. Рассматриваются различные характерные конфигурации среды, весьма схожие с картинами структур образцов из работы [66], анализируется связь между тензорами фазовой и абсолютной проницаемости. Полученные примеры функций относительных фазовых проницаемостей для сред, обладающих ортотропной и моноклинной симметрией фильтрационных свойств, демонстрируют влияние свойства связности, а также зависимость положения главных осей тензора фазовой проницаемости от насыщенности. Последнее приводит к несоосности тензоров фазовой и абсолютной проницаемостей. Существенно, что полученные относительные фазовые проницаемости анизотропны - как и в экспериментах [72, 73], их значения больше в направлении большего значения абсолютной проницаемости.

Другим практически важным случаем, подробно изложенным в [74], является ситуация, когда преобладающими являются вязкие силы, и течение, в основном, происходит из-за перепада давлений. Тогда капиллярными и гравитационными силами можно пренебречь и из двух уравнений, записанных для каждой фазы, получить уравнение, описывающее эволюцию давления, что позволяет разделить описание изменения давления и насыщенности в процессе фильтрации флюидов в трещиноватых средах с учетом их разномасштабности, как по пространству, так и по времени.

Прямое численное моделирование задач многофазной фильтрации в трещиноватых средах весьма затруднительно. Кроме того, при решении многих инженерных задач, к числу которых относится и задача моделирования разработки нефтегазовых месторождений, точность исходных данных весьма ограничена, что [25] делает прямой расчет избыточным по точности для реальной оценки ситуации. Поэтому [12] важнее иметь метод решения, который бы учитывал качественные особенности процессов.

В связи с вышесказанным в последнее время в области моделирования подземной гидродинамики проявлен заметный интерес к многомасштабным алгоритмам [75, 76], в том числе применительно к многофазным задачам [77-80]. Основное внимание при рассмотрении многомасштабных методов уделяют уравнению для давления, поскольку данный этап является наиболее трудоемким по времени из-за необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Следует особо отметить, что основные принципы многомасштабных методов имеют много общего с идеями метода суперэлементов [81], аналогом которого является Residual Free Bubble Method [82], обсуждаемый в западной литературе. Применению в методе конечных элементов специальных базисных функций, являющихся решением некоторых дифференциальных уравнений, для эллиптических задач посвящена работа [83], задачи конвекции-диффузии рассматриваются в [84]. С точки зрения моделирования трещиноватости необходимо также отметить работу [85], в которой аналитически построены базисные функции для случая, когда локально коэффициенты задачи меняются только в одном направлении.