Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

Рис. 1.12 Рис. 1.13

На рис. 1.14 и 1.15 также изображены нечеткий и обычный графы.

Рис. 1.14 Рис. 1.15

Пример 5. Заштрихованные части на рис. 1.16, где каждой точ­ке (х, у) приписано значение μ (х, у), изображают нечеткий граф.

Pис. 1.16

Обобщение. Понятие прямого произведения двух множеств

Е1 × Е2 можно обобщить для произведения множеств

Е1 × Е2 × ... × Еn.

Нечетким графом называется нечеткое подмножество, такое, что

(1.16)

где х(i) Еi, i = 1, 2, ..., п, а М есть множество принадлежностей пря­мого произведения Е1 × Е2 × ... × Еn.

Пример. Пусть

(1.17) (1.18)

2.2. Нечеткое отношение

Подобно тому, как это делается в теории обычных множеств, понятие нечеткого графа можно объяснить в терминах понятия не­четкое отношение. Пусть Р — прямое произведение п множеств и М — его множество принадлежностей; нечеткое n-арное отношение опреде­ляется как нечеткое подмножество Р, принимающее свои значения в М.

Пример 1. Пусть

E1 = {х1, х2, х3}, (2.1)

Е2 = { у2, у2, у3, у4, у5}, (2.2)

М = [0, 1]. (2.3)

Таблица на рис. 2.1 изображает нечеткое 2-арное отношение (которое можно называть бинарным, если не возникает путаница с другими возможными интерпретациями слова «бинарный»).

Рис. 2.1

Пример 2. Пусть

E1 = Е2 = R, (2.4)

где R = (— ∞, ∞), т. е. R — множество всех действительных чисел. Тогда отношение у х, где х R, у R, есть нечеткое отношение в R2.

Например, субъективное выражение (зависящее от субъективного оценивания) отношения у х можно задать так:

(2.5)

Обозначение. Нечеткое отношение в Е1 × Е2 запишется как

(2.6)

Символы для обозначения экстремума. Далее будем использовать символы:

— для обозначения максимума относительно элемента или

переменной х,

— для обозначения минимума относительно элемента или пере­менной х.

Так, запись

(2.7)

эквивалентна

(12.8)

Аналогично запись

(2.9)

эквивалентна

(2.10)

Проекция нечеткого отношения. Первую проекцию определяет

функция принадлежности

(2.11)

Аналогично вторую проекцию пределяет функция принадлеж­ности

(2.12)

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) будет называть­ся глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначаться h(). Таким образом,

(2.13)

Если h()=1, то говорят, что отношение нормально. Если h()< 1, то отношение субнормально.

Пример 1 (рис. 2.2). Вычислим первую проекцию

(2.14)

Рис. 2.2

Аналогично можно вычислить и вторую проекцию. Результаты рас­четов приведены на рис. 2.2. Мы видим, что отношение нормально

Пример 2. Рассмотрим отно­шение x y, где

(2.15)

(рис. 2.3), которое можно ин­терпретировать такой нечеткой фразой: х и у — очень близкие друг к другу числа (для доста­точно больших значений k).

Рис. 2.3

В этом случае мы видим, что для фиксированного значения х0

(2.16)

Поскольку значениетакже равно единице, то h()=1.

Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения называется обычное множество упорядоченных пар (х, у), для которых функция принадлежности положительна:

(2.17)

Пример 1 (рис. 2.4).

(2.18)

Рис. 2.4

Пример 2 (рис. 2.5). Рассмотрим отношение где х R+,

у R+ и

(2.19)

Тогда имеем

(2.20)

Рис. 2.5

Нечеткое отношение, содержащее или содержащееся в данном не­четком отношении. Пустьи —два нечетких отношения, такие, что

(2.21)

тогда говорят, чтосодержит или содержится в .

Заметим, что

(2.22)

если содержит .

Пример 1 (рис. 2.6). Легко проверить, что содержит .

Рис. 2.6

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение где х R+ в

у R+, такое, что у х, т. е. «у много больше х», и пусть функция при­надлежности этого отношения определяется выражением

(2.23)

Пусть теперь k2 > k1; тогда отношение с функцией принадлеж - ности

(2.24)

содержит (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений и обозначаетсяилии определяется выражением