Дискретно-непрерывная математика (стр. 42 )

Пример 2. Рассмотрим опять пример (10.3); имеем

(15.24)

2.16. Отношения сходства

В теории обычных множеств тот факт, что это бинарное отношение не унас­ледовало свойства транзитивности, объясняет почти полное отсутствие интере­са у части математиков к этому свойству (исключение составляет С. Flament «Analyse des structures preferentiells intransitives». Proc. Sec. Intern. Conf. O. R., p. 150, I960). Точно так же, как карикатуристы, каждый раз они впадают в об­щую ошибку, полагая, что сходство транзитивно. Вспомним карикатуры, на которых видно, как изменяющиеся образы появляются друг за другом, как ко­роль Луи-Филипп меняется III превращается в макрель. Талант этих юмористов не должен затемнять их логическую ошибку. Записывая (в смысле теории обычных множеств), что А похоже на В, В похоже на С, С похоже на D, .. , К похоже на L, а поэтому А похоже на L, мы действи­тельно получаем A=L; окончательный вывод из последовательности умозак­лючений неверен. Ложные выводы этой природы используются людьми для того, чтобы подшутить над чем-либо, или политиками, которые стремятся воспользо­ваться глупостью некоторых избирателей. Софисты имеют особую склонность уверять нас в существовании транзитивности там, где ее существование особен­но сомнительно.

Однако в теории нечетких подмножеств можно измерять несколько видов сходства, используя понятие расстояния в транзитивном замыкании. Понятие подобия тогда устанавливает мост между эквивалентностью и сходством.

Отношениетакое, что

(16.1) (16.2)

называется отношением сходства.

Пример 1. На рис. 16.1 приведен пример отношения сходства.

Рис. 16.1

Пример 2. Отношение (16.12)

(16.3)

как мы уже видели, нетранзитивно, но оно рефлексивно и симметрич­но, поэтому есть отношение сходства.

(Min—mах)-расстояние на отношении сходства. Еслиесть от­ношение сходства (композициясохраняет рефлексивность и симметричность), то его транзитивное замыкание есть отношение

подобия. В таком случае понятие (min—mах)-расстояния, порожден­ногоможно определить через расстояние, порожденное

(16.4)

Пример 1. Рассмотрим пример на рис. 16.1. С помощью компози­ционной формулы (7.3) мы подсчитали транзитивное замыкание изображенное на рис. 16.2.

Рис. 16.2

Далее определилитакое, что

(16.5)

Отношение изображено на рис. 16.3.

Рис. 16.3

Наконец, имеем

(16.6)

Пример 2. Рассмотрим отношение сходства определенное как

(16.7)

Это отношение представлено на рис. 16.4.

Рис. 16.4

Подсчитав

(16.8)

получим отношение, представленное на рис. 16.5. В таком случае имеем

(26.9)

(Чтобы получитьнеобходимо взятьочевидно, что все элементыстремятся к 1/2, за исключением элементов на главной диагонали, которые остаются равными 1.)

Рис. 16.5

Следовательно, можно заключить, что

(16.10)

Заметим, что, если в (16.7) считать, что

(16.11)

то получим

(16.12)

для всех х и у. Однако здесь нет парадокса, поскольку расстояние меж-ду х и у + х + dx бесконечно мало и того же порядка, что и dx. Конечно, если расстоянию придать некоторый другой смысл, чем придавае­мый рассмотренному здесь (min — max)-расстоянию, то это заключе­ние следует пересмотреть.

(Мах—•)-транзитивное замыкание для отношения сходства. Пусть — отношение сходства. В некоторых случаях предпочтитель­нее измерять расстояние между элементами с помощью (max — •)-оператора вместо (max — min)-оператора, т. е. вместо (3.2) исполь­зовать (3.19):

(16.13)

(Мах— •)-транзитивное замыкание отношения определяется как

(16.14)

где

(16.15)

Точка над напоминает нам, что мы имеем дело с (max — •)-

композицией.

Рассмотрим пример. Напомним, что для отношения на рис. 16.1 мы подсчитали на рис. 16.2 и 16.3. На рис. 16.6 можно увидеть,

как определялись

Рис. 16.6

Замечания к вычислению В (8.19) мы видели, что

(16.16)

хотя обратное утверждение неверно.

Теорема 2 из § 2.7 (равенство (7.13)) также справедлива для (mах—• )-операции. Для некоторого конкретного k имеем

(16.17)

В случае, когдаесть отношение сходства, аналогично имеем

(16.18)

(Min — sum)-paccтояниe на отношении сходства.

(Min — sum) - расстоянием будем называть величину

(16.19)

Но сначала следует установить, удовлетворяет ли эта функция аксиомам расстояния (15.17) — (15.20).

(15.17) удовлетворяется априори, поскольку

(15.18) удовлетворяется априори, поскольку отношение симмет­рично.

(15.20) удовлетворяется априори, поскольку отношениерефлек­сивно, откуда следует, что

Остается показать, что это расстояние действительно обладает свойством (15.19). Мы поступим так же, как это было сделано для (15.5) — (15.9).

Имеем

(16.20)

отсюда,

(16.21)

Это дает

(16.22)

(16.23)

гдеесть алгебраическая сумма, определенная формулой (2.42). Теперь видно, что для (max — sum)-oпepaтopa определенно удовлет­воряется свойство (15.19).

Пример 1. Рассмотрим опять пример на рис. 16.1. На рис. 16.6

мы подсчитали (max — •)-транзитивное замыкание, т. е. Теперь (min — sum)-расстояния будут задаваться отношениемдля которого