Дискретно-непрерывная математика (стр. 58 )

Объединение. Объединение двух нечетких подмножеств

(6.16)

определим условием

(6.17)

Мы видим, что объединение может иметь смысл только при усло­вии, что отношение порядка на L определяет L как верхнюю полуре­шетку. Так как здесь, по нашему предположению, L — решетка, то это условие выполняется.

Пример (см. рис. 6.1). Рассмотрим (6.4) и (6.7). Имеем

(6.18)

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивную сумму определим только при условии, что L — дистрибутивная решетка с дополнением, т. е. булева решетка; в этом случае

(6.19)

Разность. Разность нечетких подмножеств определена при тех же ограничениях, что и дизъюнктивная сумма; по определению.

(6.20)

Свойства L и LE. Как мы уже видели, все свойства LE для ∩, и дополнения (если оно существует) выводятся из свойств операций ∆, и взятия дополнения (если оно существует) на множестве L.

Отметим, что обобщение теории нечетких подмножеств, развитой Заде (т. е. когда М = [0, 1]), состоит в ее распространении на случай векторных решеток L:

(6.21)

В этом случае, еслито

(6.22)

Другое обобщение относится к случаю, когда

(6.23)

и каждое Мi, i = 1,2, ..., п имеет конфигурацию булевой решетки. Теорию нечетких подмножеств можно построить для любого типа решеток, не вводя понятия дополнения (как в случае булевой решет­ки) или псевдодополнения (по Заде).

Нечеткие переменные. Понятие нечеткой переменной, определен­ное ранее, также можно обобщить для случая, когда L определяется соотношением (6.21), т. е. представляет собой векторную решетку. Свойства, определенные ранее, легко переносятся на этот случай.

Можно применить и другой подход: предположить, что L — булева решетка с дополнениями и дополнение для нечетких подмножеств оп­ределено в соответствии с дополнениями в L. Тогда опять получаем булеву решетку с теми же свойствами, если заменим в них на ∆, на и дополнительно введем условие и где 0 и 1 — соответственно нижняя и верхняя границы этой б>левой решетки.

4.7. Обзор некоторых понятий, необходимых для введения понятия категории

Теория категорий позволяет выявить общую идею, лежащую в ос­нове многих результатов, изложенных выше. Однако тем читателям, которые ранее не изучали эту теорию, нецелесообразно начинать зна­комство с новым кругом идей без всякого перехода, не выработав пред­варительного представления о некоторых промежуточных понятиях, обзор которых мы сейчас и собираемся сделать в дидактичес­ком духе. В приводимых ниже примерах мы в основном будем иметь дело с конечными универсальными множествами, но определения без всяких дополнительных оговорок применимы и к бесконечным уни­версальным множествам.

Соответствие. Соответствие Г между множествами Е1 и Е2 опреде­лено, если задан обычный граф G Е1 × Е2. Тогда говорят, что G — граф соответствия Г, Е1 — область определения, а Е2 — область значений Г.

Соответствие, обратное Г, обозначается Г-1, где Е2 — область определения, а Е1 — область значений Г-1.

Отображение. Отображением множества Е1 во множество Е2 на­зывается такое соответствие, которое любому х Е1 сопоставляет по крайней мере один у Е2.

Тогда говорят, что элемент у — образ элемента х, а х—переменная или аргумент.

Пример (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1. Отображение

Пусть

Е1 = {а, b, с, d}, (7.1)

Е2 = {А, В, С, D, Е}. (7.2)

Имеем

(7.3)

В есть образ а,

D есть образ b,

В и Е есть образы с,

Е есть образ d.

Сюръективное отображение или сюръекция. Отображение Е1 на Е2 называется сюръективным или сюръекцией, если любой у Е2 есть образ по крайней мере одного х Е1.

Рис. 7 2. Сюръекция

Пример (см. рис. 7.2). Пусть

Е1 = {а, b, с, d}, (7.4)

Е2 = {А, В, С, D, Е}. (7.5)

Имеем

(7.6)

Это отображение действительно сюръекция, так как Г-1 {у} не­пусто:

(7.7)

Как можно видеть, условие |Г-1 {у}| ≥ 1 для любого у характе­ризует сюръекцию.

Инъективное отображение или инъекция. Отображение Е1 в Е2 на­зывается инъекцией, если каждый элемент у Е2 есть образ только одного элемента х Е1 либо вообще не имеет прообраза. В этом случае говорят, что Е1 инъективно отображается в Е2. Пример (см. рис. 7 3).

Рис. 7.3 . Инъекция

Пусть

Е1 = {а, b, с, d}, (7.8)

Е2 = {А, В, С, D, E, F}. (7.9)

Имеем

(7.10)

и

(7.11)

Как можно видеть, если для любогото

отображение является инъекцией.

Биективное отображение или биекция. Если отображение одно­временно сюръективно и инъективно, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Пример (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4 . Биекция

Пусть

E1 = {а, b, с, d}, (7.12)

Е2 = {А, В, С, D, E, F}. (7.13)

Имеем

(7.14)

и

(7.15)

Как можно видеть, если для всех

то отображение биективно.

Функция. Отображение, такое, что

(7.16)

называется функцией.

Другими словами, функцией Е1 в Е2 называется такое отображе­ние, которое каждому х Е1 сопоставляет один и только один у Е2.

Функция может быть сюръективной, инъективной или биективной. Некоторые примеры приведены на рис. 7.5—7.7.

Рис. 7.5. Сюръектив ная функция Рис. 7.6. Инъективная функция

Рис. 7.7. Биективная функция

Очевидно, что если функция Г биективная, то Г-1 тоже биективная. В этом случае говорят о взаимно-однозначном соответствии между

E1 и Е2.

Замечание. Некоторые авторы определяют отображение как функцию, т. е. такое отображение, что

В настоящей работе мы предпочитаем следую­щие определения:

отображение: (7.17)

функция: (7.18)