Дискретно-непрерывная математика (стр. 56 )

* коммутативный, то коммутативен и закон, если закон идемпотент-ный, то и закон идемпотентный.

Другие свойства. Формулы (2.33)— (2.39) позволяют определить другие свойства. Рассмотрим случай, когда

(5.44)

Можно легко доказать несколько свойств.

Если L1 и L2 имеют конфигурации обычного предпорядка, то L име­ет такую же конфигурацию; аналогичные результаты получаем, рас­сматривая конфигурации порядка, полурешетки, решетки или коль­ца. Эти же свойства обнаруживаются и в связи с операциями взятия произведения и возведения в степень.

Рассмотрим пример.

Пример. Пусть

L1 = {а, b, с}, (5.46)

L2 = {α,β } (5.47)

где L1 имеет структуру нижней полурешетки, которая отражена на рис. 5.15, и L2 — структуру решетки (рис. 5.16).

Рис. 5.15 Рис. 5.16

Произведение

(5.48)

обладает структурой нижней полу решетки (рис. 5.17).

Рис. 5.17

Теперь положим

Е = {А, В, С, D}. (5.49)

Тогда множество LE с элементами

(5.50)

где состоит из 64 = 1296 элементов и имеет структуру нижней полурешетки. Другой пример: нечеткие подмножества высших порядков.

Пусть

L1 = {А, В, С}, (5.51)

L2 = {α,β} (5.52)

L3 = {а, b}. (5.53)

Исследуем представление Сначала имеем

(5.54)

Сохраняя произвольный порядок элементов вдля упрощения записи положим

(5.55)

Легко видеть, что множествосодержит 28 = 256 элементов,

из которых выпишем только один:

(5.56)

Если L1,L2, L3 — решетки, то— тоже решетка.

Здесь мы видим, как появляется понятие нечеткого подмножества порядка 2. Можно пойти еще дальше и определить нечеткие подмно­жества порядка п (п > 2).

Не нужно путать

(5.57)

т. е. с нечеткостью другого типа.

Относительное обобщенное расстояние Хемминга для случая, ког­да L — решетка, и для более общего случая — ориентированного гра­фа. Перед тем как определить это понятие, еще более общее, чем то, которое изучалось ранее, напомним, что понимают под расстоянием меж­ду двумя вершинами в неориентированном выпуклом обычном графе.

Расстоянием между двумя вершинами неориентированного графа называется длина кратчайшей неориентированной цепи (число звень­ев кратчайшей цепи). Определенное таким образом расстояние между Xi и Xj- обозначим через

Проверим, что аксиомы

действительно удовлетворя­ются. Пусть X — множество вершин рассматриваемого неориенти­рованного графа, нужно проверить, что

(5.58)

(5.59) (5.60)

и, кроме того, что

(5.61)

Легко убедиться в том, что эти условия действительно выполняют­ся и, значит, расстояние между вершинами определено корректно.

Рис. 5.18 Рис. 5.19

На рис. 5.18 мы изобразили неориентированный связный обычный граф. На рис. 5.19 приведена матрица расстояний

в этом графе.

Рассмотрим случай, когда мы имеем дело с множеством Е, нечеткие подмножества которого принимают свои значения в L, причем L — упорядоченное множество. Для этого упорядоченного множества по­строим диаграмму Хассе, которая определит неориентированный обыч­ный граф; в этом неориентированном обычном графе измерим расстоя­ниямежду вершинами, как это было определено выше.

Пусть

(5.62)

— множества с элементами, функции принадлежности которых при­нимают свои значения в упорядоченном множестве L. Диаграмма Хас­се для L представлена на рис. 5.20. Матрица расстояний в этом неориентированном обычном графе приведена на рис. 5.21.

Рис. 5.20

Рис. 5.21

Теперь предположим, что мы рассматриваем для нечетких подмно­жествамножества Е:

(5.63)

и

(5.64)

Сначала подсчитаем расстояниямежду «значениями» или

«вершинами графа» для каждого элемента хi Е. Эти расстояния мож­но взять из матрицы на рис. 5.21. Имеем

(5.65)

Эти расстояния можно записать в одну строку

(5.66)

Теперь напомним, что понимается под диаметром связного неори­ентированного обычного графа — это максимальный кратчайший путь между любыми двумя вершинами. Например, для графа на рис. 5.18 диаметр равен 4 (см. правый столбец на рис. 5.19, расположенный под

словом max). Следовательно, для графа на рис. 5.20 диаметр тоже равен 4. Теперь разделим каждое расстояние в (5.66) на 4 и получим

(5.67)

Таким образом, мы приходим к случаю, когда числа принадлежат [0, 1] и могут трактоваться как значения функции принадлежнгсти.

Tеперь определим относительное обобщенное расстояние Хеммин­га (или относительное евклидово расстояние, или даже какое-нибудь дру­гое расстояние) между

(5.68)

Понятие относительного обобщенного расстояния Хемминга между двумя нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества, в свою очередь, можно обобщить дальше, если допустить, что каждый элемент хi Е, i = 1, 2, ..., п, можно оценить по некото­рому критерию, который может быть ему присущ или нет. Тогда можно использовать следующий общий алгоритм.

Общий алгоритм. 1. Представляем каждый критерий в виде матри­цы кратчайших путей в неориентированном обычном графе. ( Можно также ценой некоторых ограничений рассматривать неотрица­тельные и несимметричные матрицы с нулями на главных диагоналях, такие, что их элементы удовлетворяют только условию (55.60)).

2. Рассматриваем два нечетких подмножества:

(5.69)

и

(5.70)

где а1 и а′1 — оценки расположения по критерию x1, которому будет соответствовать диаметр λ1; b2 и b′2 — оценки расположения по крите­рию х2, которому будет соответствовать диаметр λ2 ...; lп и l'п — оценки расположения по критерию хп, которому будет соответствовать диа­метр λ п.

3. Подсчитываем расстояния и делим каждое расстояние на его диаметр; таким образом,

(5.71)

4. Определяем относительное обобщенное расстояние Хемминга:

(5.72)

Рассмотрим пример.