Дискретно-непрерывная математика (стр. 48 )

(3.16)

то говорят, что элементесть левый обратный элемент для а. Анало­гично, если

(3.17)

то говорят, чтоесть правый обратный элемент для а. Наконец, если

то

(3.18)

и говорят, чтоесть обратный элемент для а.

В нечетком группоиде для каждого элемента можно попытаться оп­ределить обратный.

Обратимся опять к примеру на рис. 2.3. Мы уже видели, что здесь существует единица, а именно пара (1, 1). Очевидно, что имеется толь­ко один элемент, который в композиции с самим собой дает (1, 1); это элемент (1, 1).

Для всех остальных элементов, таких, что и

имеем

(3.19)

Следовательно, в группоиде на рис. 2.3 каждый элемент не имеет

обратного.

В более общем случае, когда в качестве закона * используется или ∩, обратный элемент не существует.

В случае существует единица, определяемая условием

в случае ∩ существует единица, определяемая условием

Но ни в одном из этих случаев, независимо от того, каково нечеткое подмножество нельзя определить обратный элемент. Известно, что

(13.20)

(13.21)

Однако если принять за единицу для , а Е—в качестве единицы для ∩, то это все равно не позволит определить обратные элементы; никакой элемент, скажем В, не может дать

(3.22)

(3.23)

Аналогично можно проверить, что для законов

(3.24)

(3.25)

также нельзя определить обратные элементы.

(Для закона композиции единицей является . Если положить

при 0< а < b < 1, то и мы никогда не получим а * b = 0, следовательно, не существует числа b, которое можно было бы поставить в соответствие числу а з качестве обратного, то же справедливо и для).

Можно проверить, что это справедливо также для закона * :

определенного посредством

(3.26)

или закона *:

(3.27)

Дистрибутивность. Пусть * и *' представляют собой два закона внутренней композиции, определенных на одном и том же множестве Е. Если

(3.28)

то говорят, что закон * дистрибутивен слева относительно закона *'. Аналогично, если

(3.29)

то говорят, что закон * дистрибутивен справа относительно закона *'. Если закон * дистрибутивен относительно другого закона *' и сле­ва и справа, то говорят, что он дистрибутивен относительно *'. Тогда можно записать

(3.30)

Можно, например, проверить, что закон ∩ дистрибутивен относи­тельно и, наоборот, закон дистрибутивен относительно ∩ . Для закона

(3.31)

относительно ∩ или свойство дистрибутивности не имеет места.

Обычное подмножество нечеткого множества, замкнутое отно­сительно закона композиции. Пусть'причем на-

делено законом *. Если для каждой упорядоченной пары

(332)

то говорят, что ∆ замкнуто относительно *.

(Напомним, что нечеткие подмножества универсума Е образуют множест­во, обозначаемое поэтому, имея в виду нечеткие подмножества, сказать, что множество Е наделено законом * или что этим законом наделено множество значит, сказать одно и то же.)

Рассмотрим, например, группоид, представленный на рис. 2.3. Можно проверить, что группоид

∆1 = { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} замкнутый, (3.33)

∆2 = { (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый. (3.34)

На рис. 3.1 представлен тот же группоид, что и на рис. 2.3,но наделенный законом : группоид

∆1 = { (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0)} незамкнутый, (3.35)

∆2 = { (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнутый, (3.36)

∆3 =- { (1/2, 1), (1, 1/2)(1, 1)} замкнутый. (3.37)

Рис. 3.1

Интересно проследить, как получить замкнутые подмножества для примеров на рис. 2.3 и 3.1 с помощью диаграммы Хассе векторной решетки, представляющей(см. рис. 3.2).

Рис. 3.2

Правило состоит в следующем. Чтобы некоторое подмножество из было замкнутым, оно должно содержать нижнюю грань любой

пары Например, подмножество

{(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1,0)| замкнуто относительно ∩. Это можно видеть на рис. 3.2. С другой стороны, подмножество { (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1), (1, 1/2)} незамкнуто относительно ∩. Такое же правило при­меняют и для операции , но только рассматривают верхние границы. Напри­мер, подмножество {(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1, 0)} незамкнуто относительно , а подмножество {(0, 1/2), (1, 0), (1, 1/2), (1,1)} — замкнуто.

Это свойство — общее для любого каким бы ни было Е, поскольку, как мы видели, всегда образует.

векторную решетку по отношению включения [т. е. для которого можно всегда рассматривать

Подгруппоиды. Любое подмножествозамкнутое от-

носительно закона *, называется подгруппоидом группоида (Е, *) и обозначается (∆Е, *) или (∆, *), если не возникает путаницы.