Дискретно-непрерывная математика (стр. 52 )

Таким образом, закон для LE принимает следующий вид:

(3.7)

Пример 2. Рассмотрим конечное множество

Е = {х1 x2, ..., хп} (3.8)

и

L = {0, 1}; (3.9)

тогда LE — множество всех обычных подмножеств множества Е (включая ).

Оператор произведения • на L индуцирует оператор ∩ на LE; опе­ратор суммы на L индуцирует оператор на LE; оператор допол­нения на L индуцирует оператор дополнения на LE.

Эти выводы остаются справедливыми для любого множества Е не-, зависимо от его мощности, т. е. независимо от того, равно оно мощности множества натуральных чисел или мощности континуума.

Пример 3. Рассмотрим конечное множество

(3.10)

L = [0, 1]; (3.11)

тогда LE — множество нечетких подмножестр.

Оператор на L индуцирует оператор ∩ на LE; оператор на L индуцирует на LE; дополнение на L индуцирует дополнение на LE; оператор произведения • на L индуцирует • на LE; оператор на L индуцирует на LE.

Как мы уже отмечали, эти выводы остаются справедливыми неза­висимо от того, имеет ли Е мощность, равную мощности множества натуральных чисел или мощности континуума.

Пример 4. Пусть

Е = {0, 1, 2, 3, 4, . .,}, (3. 12)

L = [0, 1]; (3. 13)

тогда LE определяет бесконечное множество всех нечетких целых чи­сел. Все операции примера 3 здесь также применимы.

Пример 5. Пусть

Е= L, (3.14)

L = [0, 1]; (3.15)

тогда LE представляет собой множество всех нечетких чисел таких, что

Вернемся к общему случаю. Eсли * — закон для L и — закон для LE, индуцированный *, то имеют место сле­дующие формальные выводы:

закон * ассоциативный закон ассоциативный; (3.16)

закон * коммутативный закон коммутативный, (3 17)

закон * идемпотентный закон идемпотентный. (3.18)

Посмотрим, как доказать, например, (3.16). Пусть Еα Е и пусть

lr, ls, lt, L Множество А LE будет иметь элементы вида (Еα | lr), аналогично В LE будет иметь элементы вида (Еα | ls) и С LE— элементы вида (Еα | lt). Тогда, выполняя операцию * на L, получаем множество D, элементы которого имеют видэто множест-

во обозначим Теперь с этими обозначениями можно записать

(3.19)

(3.20)

(3.21)

Доказательство (3.16) следует из сравнения (3.20) и (3.21).

Возможные структуры на L. Можно представить, что множество L наделено какой угодно произвольной структурой; если на нем опре­делена операция *, то в результате получим операцию на LE. A если предположить, что на L определены две связанные операции *1 и *2, то на LE они будут индуцировать две операции |

Однако если на L имеется операторная структура (моноида, груп­поида и т. д.), то необходимо проверить, будет ли в LE воспроизво­диться та же самая структура или какая-нибудь другая.

В теории нечетких подмножеств, изложенной в предыдущих гла­вах, L обладало структурой дистрибутивной векторной решетки для операций и ; эта решетка представляла собой интервал [0,1 ] из R, она индуцировала дистрибутивную векторную решетку для ∩ и в LE, образуя множество нечетких подмножеств.

Теперь можно сделать обобщение.

4.4. Обзор некоторых основных структур

Решетка. Пусть L — упорядоченное множество. Предположим, что для каждой пары обычныхподмножеств {Хi, Xj} множества L су­ществует один и только один элемент L — нижняя граница { Хi, Xj } и аналогично существует один и только один элемент L — верхняя граница { Хi, Xj }; в этом случае говорят, что L — решетка или сетча­тое множество.

Введем обозначения:

для нижней границы

для верхней границы

Тогда определение решетки можно записать в виде

(4.1)

(символ ! означает «существует одно и только одно»).

Операции ∆ и можно также рассматривать как отображения L × L в L, которые каждой паре ставят в соответствие элемент Хi∆ Xj и элемент ХiXj.

Можно доказать, что решетка обладает следующими четырьмя па­рами двойственных свойств. Пусть А В, С, L:

(4.2-4.3)

(4.4-4.5)

(4.6-4.7)

(4.8-4.9)

Пример. На рис. 4.1, а приведен пример решетки. На рис. 4.1, б изображена диаграмма максимальных цепей, или диаграмма Хассе.

Pис. 4.1

Имеем

(4.10)

Можно проверить, что

(4.11)

В качестве упражнения читатель должен проверить свойства

(4.2)—( 4.9).

Прежде чем перейти к другим объяснениям, напомним, что понимают под максимальной цепью. Изучая упоря­доченное множество на

рис. 4.1, можно записать, используя обозна­чение если Xi предше­ствует Xj:

(4.12)

Таким образом, в этом упоря­доченном множестве имеется три цепи, которые определены как мак­симальные, поскольку ни одна из них не может быть частью другой цепи упорядоченного множества.

Неориентированный обычный граф, составленный из максималь­ных цепей, называется диаграммой максимальных цепей или диаграм­мой Хассе; для нашего примера такая диаграмма изображена на рис. 4.1, б.

Другие примеры. Вполне упорядоченное множество [a, b] R яв­ляется решеткой.