Дискретно-непрерывная математика (стр. 46 )

На рис. 18.7 представлены результаты, полученные с учетом полного порядка

при котором половина матрицы под диагональными блоками состоит из нулей.

Рис. 18.7

Выбирая полный порядок в порядковой функции с обратной нумера­цией справа налево, получаем матрицу, в которой нули будут располо­жены над диагональными блоками.

Подведем итог, составив табл. 18.1, отражающую все случаи, соот­ветствующие теме этого параграфа.

Таблица 18.1

3. Законы нечеткой композиции

Прежде чем перейти к изучению различных обобщений, связан­ных с нечеткими подмножествами, которые будут основным предметом исследований гл. 4, предлагаем читателю познакомиться с законами нечеткой композиции.

Среди этих законов наиболее общими и полезными (любой матема­тик должен это сразу предположить) являются те, которые образуют моноид (полугруппу), т. е. имеют единичный элемент и ассоциативны. Кроме того, покажем, что структура группы не подходит для основных операций, рассмотренных в теории нечетких подмножеств, — понятие симметрии нечетких подмножеств не определяется для операторов этой теории.

Известно, что подлинная важность теории моноидов или полугрупп проявляется там, где есть связь с теорией информации, кодами, систе­мами команд и т. д.

Что касается гл. 3, то она представляет собой первое введение в некоторые важные понятия, которые впоследствии станут для читателя более содержательными. А что может быть интереснее для математика и инженера, чем расширение обычных представлений!

3.1. Понятие закона композиции

Вспомним несколько классических понятий теории обычных мно­жеств

Закон внутренней композиции. Законом внутренней композиции на множестве Е называется отображение из Е × Е в Е. (Слово «композиция» часто опускается и говорят «внутренний закон» вме­сто «закон внутренней композиции».) Другими сло­вами, каждой упорядоченной паре (х, у) Е × Е ставится в соответ­ствие один и только один элемент z Е.

На практике этот закон изображают символом, который, распола­гаясь между х и у, служит для обозначения элемента, соответствующе­го упорядоченной паре (х, у). Часто используют символ *. Таким обра­зом,

х * у = z; (1.1)

на практике для разновидностей законов используют подходящие об­щепринятые символы вроде и т. д.

Отображения Е × Е в Е часто удобно изображать условным зна­ком, связанным с элементами Е:

(1.2)

Закон внешней композиции. Пусть х Е1, у Е2 и z Е3. Отобра­жение Е1 × Е2 в Е3 называется законом внешней композиции. Другими словами, каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие

элемент z Е3 и только один такой эле­мент.

Закон композиции будет внутрен­ним тогда и только тогда, когда E1= Е2 = Е3.

Примеры.

1. Пусть Е1 = Е2 = R (множество действительных чисел); если в качестве закона выбрано обычное сложение +, то этот закон внутренний, так как сумма двух действительных чисел — всегда действительное число; действительно, имеем Е3 = R.

2. Пусть —обычное множество всех подмножеств некоторого множест­ва; тогда операции пересечения, объединения, разности и дизъюнктив­ной суммы определяют внутренние законы.

3. Если Е1 = Е2 = R+ (множество неотрицательных чисел) и если закон состоит в вычислении разности х — у = z, х, у R+, то получаем внешний закон, так как возможно, что z R+.

4. Если Е1 = Е2 — множество свободных векторов в плоскости и если символ × определяет векторное произведение (прямое произведе­ние) двух векторов, то имеем закон внешней композиции.

Группоид. Упорядоченная пара, состоящая из множества Е и внут­реннего закона композиции *, определенного на этом множестве всюду, называется группоидом и обозначается (Е, *).

Примеры.

1. Закон композиции, представленный на рис. 1.1, задает груп­поид.

Рис. 1.1

2. Примеры 1 и 2, приведенные выше для иллюстрации понятия внутреннего закона композиции, определяют группоид.

3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное поло­жительных целых чисел определяют внутренние законы композиции на множестве N0 положительных целых чисел. Если *1 обозначает на­ибольший общий делитель и *2 — наименьшее общее кратное, то

являются группоидами.

3.2. Закон нечеткой внутренней композиции.

Нечеткий группоид

Рассмотренные понятия можно в обобщенном виде перенести на не­четкие подмножества следующим образом.

Пусть Е — универсальное множество иОбозначим, как

это сделано ранее, множество нечетких подмножеств множества Е че­рез Тогда можно записать Мыуже видели, что ес­ли п = card Е и т = card M конечные, то и конечно.

Теперь можно определить закон внутренней композиции на , т. е. определить отображение из в. Другими сло-

вами, каждой упорядоченной паре где поставить в соответствие единственное нечеткое подмножество

E. Если т и п конечные, то посредством этих условий описывают конеч­ный группоид (и бесконечный группоид, если т или(и) п не конечные).

Определенные таким образом законы внутренней композиции и группоиды будут называться законами нечеткой внутренней компо­зиции или нечеткими внутренними законами и нечеткими группоидами, Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть

Е = {А, В} (2.1)

и

(2.2)

Обратившись к рис. 2.1, получим

(2.3)

Рис. 2.1

Для упрощения записи для ; вместо

(2.4)

будем писать

(2.5)

Таким образом, {(А | 1/2), (В | 0)} будем записывать (1/2, 0). При этом обозначении табл. на рис. 2.2 представляет нечеткий груп­поид.

Рис. 2.2

Пример 2. Если рассматриваемая операция * есть пересечение и еслиито можно образовать группоид с нечеткими

подмножествами в качестве результата применения этой операции. То же справедливодля операций и , определенных ранее.

Построение нечеткого группоида. Для построения нечеткого груп­поида достаточно задать универсальное множество Е, конечное или нет, образовать) явно или нет и определить закон *, который каж­дой упорядоченной паре нечетких подмножеств ставит в соот­ветствие одно и только одно нечеткое подмножество