Дискретно-непрерывная математика (стр. 30 )

(2.25)

Если—отношения, то

(2.26)

Результат объединения обозначим

(2.27)

Пример 1 (рис. 2.8).

Рис. 2 8

Пример 2. На рис. 2.9, а изображено нечеткое отношение х1у,

х R+ и у R+, содержательно означающее, что «числа х и у очень близкие».

Рис. 2.9

На рис. 2.9, б изображено нечеткое отношение х2у,

х R+ и у R+, содержательно означающее, что «числа х и у очень

различные».

Отношениесодержательно означающее «х и у очень близкие

или/и очень различные», определяется кривой μ3 (х, у):

(2.28)

где α — такое значение |у — х|, при котором

(2.29)

В логике, основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде «х и у очень близкие или(и) очень различные» должно быть со­кращено до «х и у очень близкие или очень различные» с разделитель­ным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложе­ние вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об х и у нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга.

Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений и обозначаетсяи определяется выражением

(2.30)

Если — отношения, то

(2.31)

Результат обозначим

(2.32)

Пример 1 (рис. 2.10). Рассмотрим снова данные, представленные на рис. 2.8.

Рис. 2.10

Пример 2. На рис. 2.11, а изображено нечеткое отношение

х R+ и у R+, означающее, что «модуль разностей |у — х| очень близок к α».

Рис. 2.11

На рис. 2.11, б представлено аналогичное отношение «|у — х| очено близко к β» (β > α).

На рис. 2.11, в показано, как получить

(2.33)

Имеем

(2.34)

где γ — такое значение | у — х | , что

Пересечение отношений представлено на рис. 2.11, г.

Алгебраическое произведение двух от­ношений. Алгебраическое произведение двух отношений и определяется

выражением

(2.35)

Знак • в правой части этого выражения обозначает числовое про­изведение (обычное умножение).

Пример 1 (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Рассмотрим еще раз данные на рис. 2.8.

Пример 2. Вернемся к примеру, рассмотренному на рис. 2.11, а, б. Пусть

(12.36)

тогда имеем

(12.37) См. рис. 2.13, а—в.

Рис. 2.13

Дистрибутивность. Выпишем свойства дистрибутивности для опера­ций и •

(2.38) (2.39) (2.40) (2.41)

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений и обозначается и определяется выражением

(2.42)

Знак • обозначает обычное умножение, знак + — обычное сложе­ние.

Рис 2.14 Рис. 2.15

Пример (рис. 2.14). Вернемся опять к примеру на рис. 2.8. От­метим два свойства дистрибутивности для операции

(2.43) — (2.44)

Дополнение отношения. Дополнение отношения (обозначает­ся есть такое отношение, что

(2.45)

Пример 1 (рис. 2.15).

Пример 2. На рис. 2.16, а представлена функция принадлежно­сти отношения означающего «х и у очень близки друг к другу», х R+ и у R+.

На рис. 2.16,б представлена функция принадлежности

(2.46)

которая может быть связана с отношением «х и у очень близкие».

Рис 2.16

Тогда функция принадлежности на рис. 2.16, в может

представлять отношение «х и у очень отличаются друг от друга».

Заметим, что два высказывания «х и у не очень близки» и «х и у очень разные» в общем случае не идентичны, за исключением случая, когда выбираются такие функции принадлежности, которые пред­ставляют оба высказывания довольно грубо.

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма обозначается и определяется выражением

(2.47)

Пример 1 (рис. 2.17).

Рис. 2. 17

Пример 2. Рассмотрим пример, приведенный на рис. 2.11, а и б; пусть и — отношения с функциями принадлежности, изображенными на рис. 2.11, а и б соответственно. На рис. 12.18, а—к читатель может видеть, как получить функцию принадлежности от­ношения

Рис. 2.18

Сравнивая рис. 2.11, г и 2.18, и, мы видим, что дизъюнктивное ИЛИ (рис. 2.18, и) дает результат, значительно отличающийся от ре­зультата И, так же как и от результата ИЛИ/И (рис. 2.18, к).