Дискретно-непрерывная математика (стр. 31 )

Аналогично определяется оператор дополнения дизъюнктивной суммы

(2.48)

Рассмотрим предыдущий пример на рис. 2.19 и 2.20. Рис. 2.20 получен с учетом рис. 2.18, к.

Рис. 2.19 Рис. 2. 20

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Ранее нами было показано, как получить обычное множество, ближайшее к данному нечеткому под­множеству. Аналогично пусть — нечеткое отношение; обычное отношение, ближайшее к , определяется выражением

(2.49)

Это определение пригодно для любых универсальных множеств Е1 и Е2, образующих Е1 × Е2, где х El, у Е2, и независимо от того, конечны или нет универсальные множества.

Рис. 2. 21 Рис. 2. 22

По договоренности принимают

(2.50)

Пример. На рис. 2.21 и 2.22 видно, как перейти от к

Наличие элемента, равного 1/2 и соответствующего (х2, у1), пока­зывает, что не единственно. Существуют два отношения, ближайшие к , для одного из которых

а для другого

По принятой договоренности будем полагать

2.3. Композиция двух нечетких отношений

Напомним, что иногда мы используем обозначение

эквивалентное (3.1)

где - нечеткое отношение, соответствующее нечеткому графу G.

(Мах — min)-композиция. Пусть

(max- -min)-композиция отношений 1 и 2 обозначается и определяется выражением

(13.2)

где x X, у Y и z Z.

Пример 1. Рассмотрим два нечетких отношения 1 и 2, где

х, у, z R+. Предположим, что

(3.3, 3.4)

Определим

Рис. 3.1

Рассмотрим два значения х = а и z = b переменных х и z. Функ­ции принадлежности (3.3) и (3.4) непрерывны на интервале [0, ∞]. В соответствии с (3.2) можно записать

(3.5)

Композиция 1 и 2 посредством (max—min)-оператора представ-

лена на рис. 3.1. Легко увидеть, что

и для произвольных значений х и z имеем

(3.6)

Для простоты мы рассмотрели две идентичные функциии

Но ход рассуждений не меняется и при двух различных функ­циях: накладываем графики друг на друга и опрелеляем кривую как функцию от у; за-

тем находим точку на этой кривой, которая отвечает максимальному значению у.

Проблема осложняется, если абсцисса максимума не единственная. Это вынуждает нас провести более сложные исследования.

Рассмотрим другой пример для функции принадлежности, опре­деленной на конечном универсальном множестве.

Пример 2 (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Пусть (х, z) = (х1, z1),

(3.7)

Пусть теперь (х, z) = (х1, z2), тогда

(3.8)

и т. д. Результат представлен на рис. 3.2.

Интересно сравнить эту композицию нечетких отношений с компо­зицией обычных отношений.

Для композиции обычных отношений 1 и 2имеем

(3.9)

где

Тогда выражение (3.9) можно записать в виде

(3.10)

где • обозначает булево умножение и — булеву сумму получен-

ных произведений.

Рис. 3.3

На рис. 3.3 приведен пример, рассчитанный по формуле (3.9) или, что то же самое, — по (3.10).

Пример 3. На рис. 3.4 рассматривается пример композиции трех отношений.

Рис. 3.4

Операция (max—min)-композиции ассоциативна

(3.11)

С другой стороны, если отношение определено на Е × Е, т. е.

Е × Е, то можно записать '

(3.12)

отсюда

(3.1З)

и в общем случае

(3.14)

Заметим, что (max—min)-композиция дистрибутивна относитель­но объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

(3.15) (3.16)

Доказательства (3.15) и (3.16) приведены в приложении

Легко доказать, что выполняется следующее важное свойство:

(3.17)

представляем читателю сделать это.

(Мах—*)-композиция. В (3.2) операцию можно произвольно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : она ассоциативна и монотонно не убывает по каждому аргументу. Тогда можно записать

(3.18)

(Мах— • )-композиция. Среди (mах-•)-композиций, которые можно было бы представить себе, особого внимания заслуживает композиция. В этом случае операция * — это умножение, и она обо­значается знаком •; формула (13.18) принимает вид

(3.19)

Позднее нам представится случай поговорить о (max— • )-компо­зиции и указать некоторые практические приложения ее.

Обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения. Пусть

α [0, 1]. Обычным подмножеством α-уровня нечеткого отношения.

будем называть обычное подмножество

(3.20)

Пример 1 (рис. 3.5).

(3.21)

Pис. 3.5

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное форму­лой

(3.22)

Подмножество уровня 0,3 будет определяться условием