Дискретно-непрерывная математика (стр. 38 )

Далее, если ни (10.9), ни (10.10) не выполняются, то выполняется соотношение

(10.11)

Аналогично можно показать, что не может быть ни а ≥ b > c, ни

а≥ с > b. Однако справедливо соотношение

(10.12)

Аналогично можно показать, что не может иметь место ни b ≥ с > а, ни b≥ а > с, однако справедливо соотношение

(10.13)

Таким образом, необходимо, чтобы всегда пo крайней мере две из этих величин были равны.

Теперь неравенства (10.6)—(10 8) дают нам: если а = b,

(10.14)

если b = с,

(10.15)

если с = а,

(10.16)

2.11. Подотношение подобия в нечетком предпорядке

Пусть — отношение нечеткого предпорядка. Если

Существует обычное подмножество Е1 E, такое, что

то элементы множества E1 находятся между собой в отношении подобия, которое мы будем называть подотношением подобия в предпорядке

Будем говорить, что подотношение подобия максимально, если в рассматриваемом отношении не существует другого отношения по­добия той же природы.

Предположим теперь, что отношение предпорядка таково, что каж­дый из элементов подмножества универсального множества принадле­жит максимальному подотношению подобия и не принадлежит ника­кому другому. Это можно перефразировать следующим образом: все максимальные подотношения подобия не пересекаются. В этом случае подмножества, на которых определены такие непересекающиеся мак­симальные подотношения подобия, будем называть классами подобия предпорядка.

Однако не все нечеткие предпорядки можно разложить на классы подобия. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис. 11.1 представлено отношение предпорядка (что можно проверить с помощью (9.2)).

Рис. 11.1

Этот предпорядок не является симметричным отношением. Однако заметим, что отношение мож­но разложить на три подотношения: определенное на подмножест­ве {А, В, С, Е, F},— на {D} и — на Очевидно, что обыч­ные подмножества K1={А, В, С, Е, F}, К2 = {D}, К3 = {G} — максимальные по отношению к свойству подобия (чего нельзя ска­зать, например, о {В, С, F} или {А, С, Е}). Мы скажем, что отно­шение нечеткого предпорядка разложимо относительно К1, К2 и К3 на максимальные непересекаю­щиеся подотношения подобия, об­разующие классы подобия в пре-дупорядоченном множестве.

Если мы теперь рассмотрим сильнейшие пути, существующие между этими классами (см. опре­деление (8.4)), то увидим (рис. 11.2), что эти классы сами образуют транзитивное несимметричное нечеткое отношение, которое, как будет показано в § 2.13, есть отношение нечеткого порядка.

Рис. 11.2

Пример 2. На рис. 11.3, а представлено нечеткое отношение пред­порядка. Можно найти три подотношения подобия (рис. 11.3, б), и хотя они максимальные, но пересекаются, и, следо­вательно, данные подотношения не определяют классов подобия.

Приводимый нечеткий предпорядок. Нечеткий предпорядок, раз­ложимый на классы подобия, будет называться приводимым нечетким предпорядком. Например, нечеткий предпорядок на рис. 11.1 — при­водимый, а на рис. 11.3, а — неприводимый.

В приведенных выше примерах рассматривались конечные множест­ва Е, но разложение на классы подобия, такие, как только что описанные, имеет место и в случае, когда Е — бесконечное множество, счет­ное или нет. В этом случае как сами классы, так и их число могут быть конечными или бесконечными. Однако представление отношения с по­мощью матриц или графов Бержа могут использоваться только в тех случаях, когда Е — счетное множество.

Рис. 11.3

Поиск максимальных [подотношений] подобия предпорядка (Е ко­нечное). В некоторых простых случаях, рассматривая пары элементов, обладающие свойством симметрии, сразу получают максимальные по­дотношения подобия, которые могут быть как пересекающимися, так и нет. Однако всегда желательно иметь общую процедуру. В приложе­нии даны некоторые подходящие алгоритмы.

2.12. Антисимметрия

Нечеткое бинарное отношение называется антисимметричным, если

(12.1)

Примеры. На рис. 12.1 — 12.3 приведено несколько примеров ан­тисимметричных нечетких бинарных отношений.

Рис. 12.1 Рис. 12.2 Рис. 12.3

Для отношения на рис. 12.1 имеем

(12.2)

и т. д.

Другой пример. Пустьгде х, у R+. Тогда отношение

определяемое функцией принадлежности

(12.3)

антисимметрично.

Замечание. Не нужно путать несимметричный и антисимметричный графы. Для первого можно записать

(12.4)

Так, граф на рис. 12.4 несимметричный (существует по крайней мере одна упорядоченная пара (х, у), для которой имеет место (12.4)).

Рис. 12.4

Но этот граф не антисимметричный, поскольку в нем хотя бы для одной упорядоченной пары (х, у) выполняется условие

,

например для пары (D, F).

Обычный антисимметричный граф, связанный с антисимметричным нечетким отношением. Любому антисимметричному нечеткому отно­шению можно поставить в соответст­вие один (и только один) обычный анти­симметричный граф G, такой, что (х, у) Е × Е:

(12.5)

Примем без доказательства, что в графе G

(12.6)

Это будет доказано ниже, при изучении нестрогих отношений по­рядка.

Пример 1. На рис. 12.5 и 12.6 представлены обычные антисиммет­ричные графы, соответствующие отношениям на рис. 12.1 и 12.2.

Рис. 12.5

Рис. 12.6

Пример 2. Напомним, что понятие обычного графа заключает в себе все обычные множества, как конечные, так и бесконечные. Таким об­разом, любому антисимметричному нечеткому отношению, определен-

ному на конечном или бесконечном множестве, можно поставить в со­ответствие обычный антисимметричный граф. Так, нечеткому антисим­метричному отношению, определенному посредством (12.3), поставим в соответствие обычный граф

(12.7)

представленный на рис. 12.7.

Рис. 12.7

Совершенная антисимметрия. определяет антисимметрию более строго, чем мы, имея при этом в виду некоторые дальней­шие интересные свойства; в нашем определении будем называть это совершенной антисимметрией. Совершенным антисимметричным от­ношением называется такое отношение, что

(12.8)

( дает другое определение: и )