Дискретно-непрерывная математика (стр. 50 )

Для М = {0, 1} группу можно образовать только с операцией (или, что то же, с В качестве примера рассмотрим обычную груп­пу, образованную таким образом на

Е = {x1, х2, х3}. (4.23)

Если для упрощения записи положим

(4.24)

и при этом

а, b, с {0,1}, (4.25)

то получим группу, представленную на рис. 4.7. Единицей здесь слу­жит элемент 000, и каждый элемент abc сам себе служит обратным.

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Эта группа изображена на рис. 4.8, где бинарные переменные abc заменены соответствующими им десятичными числами. На рисунке отчетливо видны некоторые свойства (подгруппоидов, латинских квадратов и т. д.), общие для этих групп, построенных с дизъюнктив­ной суммой .

В гл. IV мы вернемся к тому, что связано со структурами или кон­фигурациями множества принадлежностей М, которые мы обобщим, изучая другие вполне упорядоченные конфигурации для М.

3.5. Нечеткая внешняя композиция

Пусть Е1, Е2 и Е3— три множества. Если каждой упорядоченной паре А1 Е1; А2 Е2 можно поставить в соответствие од­но и только одно подмножество А3 Е3, то это соответствие называ­ется законом нечеткой внешней композиции при условии, что Е3 ≠ Е1 или (и) Е3 ≠ Е2. Если Е3 = Е1 = Е2, то закон внутренний.

Пример 1 — чисто дискретный. Пусть

Е1 = {А, В, С}, card Е1 = 3; (5.1)

M1 = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1}, card M1 = 5; (5.2)

Е2 = {а, b, с, d}, card E2 = 4; (5.3)

М2= {0, 1/2, 1}, cardM2 = 3; (5.4)

Е3 = {а, р}, card E2 = 2; (5.5)

М3 = {0, 1/3, 2/3, 1}, card M3 = 4. (5.6)

Пусть каждой упорядоченной паре (А1, А2)

поставим в соответствие одно и только одно подмножество

с помощью таблицы. А именно, пусть

обозначается (1/4, 1/2, 1), (5.7)

обозначается (0, 1/2, 0, 1). (5.8)

Предположим, что таблица этим двум подмножествам ставит в со­ответствие третье подмножество

обозначается (1/3, 1). (5.9)

Таблица будет содержать 53 × 34 = 125 × 81 случаев. На рис. 5.1. приведен небольшой фрагмент этой таблицы.

Рис. 5.1

Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример для закона

(5.10)

(5.11)

Получим другую композиционную таблицу, на основе которой вы­числим элемент

Пусть задано соотношением (5.7), а—соотношением (5.8).

Имеем

(5.12)

(5.13)

Таким образом,

(5.14)

Подмножествам

(5.15)

и

(5.16)

соответствует

Замечание. Пусть в общем случае M1 связано с Е1; М2 связано с Е2, М3 связано с Е3.

Еслиформируется изпосредством закона

*, определяемого условием

(5.17)

то М3 будет выведено из М1 и М2 посредством формулы композиции (5.17). Так, для примера (5.10) и (5.11) очевидно, что

(5.18)

Разумеется, (5.17) не может рассматриваться как общая формула.

В ранее мы показали, как компонуются интервалы для операций и . Аналогичные процедуры можно применить для других случа­ев.

Пример 3. Построим нечеткий граф, вершины которого — нечет­кие подмножества; этим будет определен закон внешней композиции.

Пусть

(5.19)

Каждой упорядоченной паребудет поставлен

в соответствие элемент, обозначенный

(5.20)

Элемент с принимает свои значения во множестве Q, определен­ном операцией *.

Предположим, например, что

Е = {а,b}, (5.21)

и

М= {0,1/2,1}. (5.22)

Предположим также, что

(5.23)

Эта функция определяет значения с в

(5.24)

Полученный нечеткий граф представлен на рис. 5.2. Таким спо­собом можно строить нечеткие графы, которые обладают специфичес­кими свойствами, обусловленными их построением. Достоинство представления внешнего закона композиции в виде нечеткого графа состоит в том, что элементы (вершины графа) — нечеткие подмно­жества одного и того же универсального множества.

Рис. 5.2

Если расширить эту тему, то можно дать конкретные приложе­ния, например, когда операцию * используют при оценке расстояния. Пример 4. Вернемся к примеру 3 и предположим теперь, что с — это относительное обобщенное расстояние Хемминга, которое определяется выражением

(5.25)

Рис. 5. 3

Очевидно, что им задается закон внешней композиции (см. рис. 5.3).

Важность понятия закона внешней композиции нечетких подмно­жеств. Закон внешней композиции — очень важное понятие: им ха­рактеризуется любая система оцен­ки отношений между нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества, а фак­тически и между нечеткими под­множествами разных универсаль­ных множеств. Множество, в ко­тором

принимает свои значения, может быть обыч­ным множеством или обычным мно­жеством всех подмножеств, а в об­щем случае — множеством нечетких подмножеств (рис. 5.4).

Рис. 5. 4

Расстояние между сообщениями или нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества — пример (и при том один из наиболее тривиальных), иллюстрирующий это общее понятие Отметим, что процедуры для предсказания или разработки от­крытий и изобретений, называемые биассоциацией, в значительной степени опираются на законы внешней композиции. Такие процедуры состоят в том, что выбирают понятие А которое характеризуется обычным или нечетким подмножеством семейства понятий E1 и другое понятие которое характеризуется обычным или нечетким подмно­жеством другого (а в частности, и того же самого) семейства.

Рис. 5.5 . Биассоциация

Биас­социация представляет собой внешний закон *, который позво­ляет получить новое понятиехарактеризующееся обычным или нечетким подмножеством третьего семейства (не исключается и случай совпадения этого семейства с одним из предыдущих) (рис. 5.5).