Дискретно-непрерывная математика (стр. 35 )

Y много больше X,

А чище, чем В,

X — дальний родственник Y,

в противоположность отношению X похож на Y, которое нетранзитив-но. Ведь может случиться так, что X похож на Y и Y похож на Z, но X не обязательно похож на Z; все, однако, зависит от характера функции

оценивающей сходство. Это приведет нас позднее к тому, чтобы с большей точностью определить, что в настоящей теории подразумевается под «сходством».

Пример 3. Рассмотрим отношениегде х, у N, задаваемое

функцией принадлежности

(6.12)

при значениях k> 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функ­ция принадлежности выражала отношение «х и у очень близки друг к другу». Покажем, что нечеткое отношение, определяемое (6.12), нетранзитивно.

На рис. 6.5 выписана матрица отношения (6.12).

Рис. 6.5

На рис. 6.6 произведены вычисления правой части условия тран­зитивности (6.9). Можно убедиться, что (6.9) выполняется не для всех пар. Следовательно, отношение, определяемое (6.12), нетран­зитивно.

Рис. 6.6

Позже мы вернемся к детальному рассмотрению случая, когда Е — бесконечное множество. Транзитивность в этом случае заслу­живает особого внимания.

Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а мно­жество Е счетно.

Пример 4. Рассмотрим отношение где х, у М, опреде ляемое функцией принадлежности

(6.13)

Рис. 6.7

Рис. 6. 8

Матрица этого отношения представлена на рис. 6.7. На рис. 6.8 приведены результаты вычислений правой части (6.9). Сравнивая эти два рисунка, можно убедиться, что (6.9) удовлетворяется для всех пар. Это отношение транзитивно.

Можно также проверить, что этот вывод остается в силе, если х, у R+. Это отношение можно интерпретировать как «величина х меньше у и не зависит от у».

Замечание о конечных отношениях. Операция, определяемая по­средством (6.8) или (6.9), проводится над строками и столбцами так же, как это делается в матричных вычислениях по правилу «строка на столбец». На рис. 6.9 показано, как производить вычисления, чтобы получить

(6.14)

Рис. 6.9

Композицию нечетких бинарных отношений можно рассматривать как разновидность матричного исчисления или как метод вычислений в теории графов, хотя они и отличаются от классических методов. Бо­лее того, теория композиции бинарных отношений — частный слу­чай общей теории моноидов.

2.7. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

Пусть— нечеткое отношение в Е × Е. Определим

(7.1)

функцией принадлежности

(7.2) .

где х, у, z Е. Выражение (7.2) можно переписать в виде

(7.3)

Свойство (6.8) или (6.9), определяющее транзитивность, можно также представить следующим образом:

(7.4)

Предположим, что

(7.5)

а

(7.6)

Тогда очевидно, что

(7.7)

Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения будем называть отношение

(7.8)

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (7.8) можно записать

(7.9)

Тогда, сравнивая (7.8) и (7.9), можно записать

(7.10)

что и доказывает транзитивность

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

(7.11) (7.12)

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для любого отношения.

Теорема 2. Пусть — некоторое нечеткое бинарное отношение. Если для некоторых k имеем

(7.13)

то

(7.14)

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Доказательство почти тривиально. Имеем

(7.15)

Ниже мы докажем, что если

где Е — конечное универсальное множество и card (E) = п, то

(7.16)

и существует k, определяемое (7.14), такое, что k ≤ п.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение представленное на

рис. 7.1, а.

Рис. 7.1

Можно рассчитать сначала 2 (рис. 7.1, б), затем (рис. 7.1, е). Мы видим, чтои вычисления можно здесь прекратить. Транзитивное замыканиепредставлено на рис. 7.1, г.

Глядя на рис. 7.2, можем убедиться, что

(7.17)

Рис. 7.2

Пример 2. На рис. 7.3 представлено транзитивное отношение .

Рис. 7.3

Производя вычисления, аналогичные только что проделанным, мы видим, что

(7.18)

Пример 3. Рассмотрим отношение где х, у N и

(7.19)

при значениях k > 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функ­ция принадлежности выражала отношение «обе величины, как х, так и у, довольно маленькие неотрицательные целые числа» (иначе можно сказать, что по крайней мере один из двух элементов упо­рядоченной пары (х, у) довольно мал.)

В ка­честве матричного представления этого отношения имеем

(7.20) Вычислениядают матрицу

(7.21)

Следовательно, поскольку вместомы получили

то это нечеткое отношение нетранзитивно.

Аналогично легко показать, что этот вывод остается в силе, если

х, у R+, а не только N.

Как говорилось в § 2.6, мы вернемся к этому вопросу позже, где рассмотрим случай, когда Е не является конечным.

Пример 4. Вернемся к случаю, когда отношение