Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

Рис. 8 3

Категория, образо­ванная двумя структуризованными множествами , такова, что

(8.4)

Тождественное отображениена себя — это Г10 и тождественное отображение на себя — это Г35. Имеем

(8.5)

Заметим, что не все Гi могут сочетаться с Гj для обычного за­кона композиции отношений; на диаграмме (рис. 8.4) приведены следующие результаты:

(8.6)

Рис. 8.4

Категория С дает все С-морфизмы, существующие между двумя структуризованными множествами Г1 и Г2 или каждым из этих мно­жеств и им самим. Другими словами, категория дает все возможные функции,которые существуют между элементами упорядоченных пар

Пример 2. Рассмотрим все конечные группы, состоящие из четы­рех и менее элементов. Известно, что существует

1 группа с 1 элементом;

1 группа с 2 элементами;

1 группа с 3 элементами;

2 группы с 4 элементами.

Эти пять групп

(8.7)

представлены на рис. 8.5—8.9. Для каждой из этих групп через е обозначена единица.

Рис. 8.5 Рис. 8 6 Рис 8.7

Рис. 8.8 Рис. 8.9

Перейдем к изучению категории, образованной множеством из этих пяти групп. Рассматриваемые здесь морфизмы должны удовлетворять условию

(8.8)

где Г — морфизм Gi в Gj.

Перечислим все морфизмы между конечными группами четырех или более элементов (на рис. 8.10 • обозначает морфизм.)

На рис. 8.10 представлена перечислительная процедура составления лексикографического списка без пропусков и повторений. Морфизмы обозначены • ; отображения-морфизмы отмечаются ×.

Эту процедуру перенумерации можно легко запрограммировать для расчетов на ЭВМ.

Рис. 8.10 (начало)

Рис. 8 10 (продолжение)

Рис. 8.10 (продолжение)

Рис. 8.10 (окончание)

В этом лексикографическом перечислении мы предположили, что еди­ница единственна для всех преобразований. В расчете на разработку програм­мы для компьютера проверьте каждое отображение на условие Г (х * у) = Гх *' Гу. Кроме того, можно значительно уменьшить перечисление введением некоторых ограничений на формирование подгрупп

На рис. 8.11 наглядно изображена категория групп, имеющих самое большее четыре элемента, в этой категории всего 59 морфизмов.

Рис. 8 11 (начало)

Рис. 8.11 (окончание)

Относительно этих морфизмов можно получить все возможные подгруппы этой группы, имеющие самое большее четыре элемента. Ком­позиция всех этих морфизмов определяется внутренним законом; он ассоциативен и в согласии с определением (8.3) существует единица.

Пример 3. Рассмотрим множество объектов, представляющих со­бой интервалы

(8.9)

т. е. множество замкнутых интервалов в континууме R.

U имеет структуру полного порядка для отношения

[а, b] [а', b'] тогда и только тогда, когда а<а' или а = а', b≤b'

(8.10)

и операцию можно рассматривать как не всюду определенную опе­рацию, полученную относительно отношения порядка (8.9).

Каждой упорядоченной парегде определены согласно определению (8.9), можно сопоставить множество морфизмов обладающих всеми свойствами функций (см. рис. 8.12 и 8.13). Все эти функции удовлетворяют условиям (8.1)—( 8.3).

Рис. 8 12 Рис. 8. 13

В этом случае множество объектов , составленное всеми закры­тыми интервалами в [а, b], образует категорию С для операции , соответствующей индуцированному порядку.

Аналогично можно определить категорию для областей R2, R3 и т. д.

4.9. Нечеткие С-морфизмы

Начнем с примера. Рассмотрим две конечные группы с четырьмя элементами G4 и G5, изображенные на рис. 8.8 и 8.9. Для удобства мы повторим их еще раз на рис. 9.1 и 9.2.

Рис. 9.1 Рис. 9.2

На рис. 9.3 представлено множество MOR (G4, G5), приведенное в качестве упражнения в примере 2 раз.7.8.

Рис. 9 3

Если морфизмы G4 в G5 обозначить через Гі, i = 1, 2, 3, 4, то универсальное множество морфизмов G4 в G5 можно запи­сать в виде

(9.1)

Сначала рассмотрим нечеткие подмножества морфизмов MOR (G4, G5) в смысле Заде (т. е. принимая М = [0, 1] в качестве множества принадлежностей), обобщение будет сделано позже. Не­четкое подмножество MOR (G4, G5) задается как

(9.2)

где

(9.3)

(9.4)

— соответственно универсальное множество и функция принадлеж­ностей, которыми определяется нечеткое подмножество

Так определенное подмножество назовем нечетким морфизмом G4 в G5.

На множестве нечетких морфизмов целесообразно определить те же операции, которые были определены на нечетких подмноже­ствах. Теперь можно видеть, как понятие обычного морфизма обобща­ется до понятия нечеткого морфизма.

После этого вводного примера перейдем к общему определению.

Определение. Пусть С — категория и X, Y С; тогда L-нечетким

С-морфизмом X в Y будет называться L-подмножество обычных

С-морфизмов X в Y. Если обозначить множество или универсальное мно­жество морфизмов X в Y через Ф, т. е. Ф = MOR (X, Y), то L-нечет-ким С-морфизмом X в Y будет элемент

LФ. (9.5)

Этот L-нечеткий С-морфизм обозначим

(9.6)

В рассматриваемом здесь общем случае L может быть не только интервалом [0, 1], но и, как мы указывали ранее, обычным предпоряд-ком, нижней полурешеткой, решеткой, кольцом или любой структурой, удовлетворяющей (3.16)—( 3.18).

Множество всех нечетких морфизмов, существующих в категории С (множество, которое может быть конечным или нет, в зависимости от природы С), определяет то, что называют нечеткой категорией С, связанной с категорией С при том условии, что каждому MOR (X, Y) ставится в соответствие определенное структуризованное множество L.

Чтобы изучить, что представляет собой L-нечеткий С-морфизм (9.5), обратимся опять к примеру, приведенному в начале параграфа. Пусть

(9.7)

(см. рис. 9.3) и

L = {0, 1/2, 1}, (9.8)

т. е. здесь задан полный порядок трех числовых величин: 0, 1/2, 1. В нашем случае существует 34 = 81 нечеткий морфизм G4 в G5 и LФ представляет собой множество из 81 морфизма. Выпишем для примера один из них:

(9.9)

Композиция нечетких морфизмов (Там, где не возникает неясности о природе категории С и структуризованного множества L, связанного с Ф = MOR (X, Y), будем вместо «С-нечеткий L-морфизм» говорить просто о морфизме L.).