Дискретно-непрерывная математика (стр. 34 )

где {х} и {у} — вектор-столбцы

Нечеткие подмножества, последовательно обусловливающие друг друга. Если индуцирует посредством индуцирует посредством и индуцирует посредством то индуцирует посредством

Пример.

(5.47)

(5.48)

(5.49)

(5.50)

Е3 = { z1, z2, z3}, (5.51)

(5.52)

(5.53)

Ближайшие обычные подмножества, обусловливающие друг друга.

Легко показать (достаточно сослаться на (3.38)), что

(5.54)

Пример.

(5.55)

(5.56)

Это свойство остается справедливым, какой бы ни была природа универсальных множеств Е1 и Е2, где xі E1 и yі Е2, и не зависит от того, конечны или нет множества Е1 и Е2.

2.6. Свойства нечетких бинарных отношений

Рассмотрим случай, когда

Е1 = Е2 = Е (6.1)

и

М = [0, 1], (6.2)

и займемся исследованием некоторых свойств нечетких бинарных от­ношений в Е × Е.

Пример 1. Пусть

Е = {А, В, С, D, Е}, (6.3)

М = [0, 1]. (6.4)

Таблица или матрица на рис. 6.1 представляет нечеткое отношение в Е ×Е.

Рис. 6.1

Пример 2. Пусть R — множество действительных чисел и

х R, у R, тогда

| у | » |х| (6.5)

есть нечеткое бинарное отношение , заданное в R × R, с функцией принадлежности определяемой (6.5) для всех (х, у).

Перейдем к изучению основных свойств нечетких отношений. При представлении функции принадлежности, определяющей нечеткое от­ношение, мы не будем различать обозначения поскольку нечеткое отношение можно рассматривать как нечеткий граф.

Симметрия. Нечеткое бинарное отношение называется симметричным, если выполняется условие

(6.6)

Пример. (См. рис. 6.2).

Рис. 6.2

Другой пример. Пусть R — множество действительных чисел и

х R, у R. Тогда отношение «у близко к х» интуитивно восприни­мается как нечеткое симмет ичное отношение в R × R.

Рефлексивность. Это свойство определяется условием

(6.7)

Пример. (См. рис. 6.3).

Рис. 6.3

Другой пример. Отношение «у близко к х» в примере на симмет­ричность является рефлексивным отношением.

Транзитивность. Пусть х, у, z Е, тогда

(6.8)

Выписанное соотношение определяет свойство транзитивности не­четкого отношения. Это соотношение можно записать в виде

(6.9)

Напомним, что символ означает «максимальное из значений...», а символ — «минимальное из значений...».

Прежде чем привести некоторые примеры, интересно удостовериться в том, что определением (6.9) на самом деле обобщается понятие тран­зитивности формальных отношений. Известно, что для таких отноше­ний транзитивность определяется свойством

(6.10)

Это свойство выражает тот факт, что существует по крайней мере один у, такой, что (х, у) G и (у, z) G, т. е. если μ (х, у) = 1 и μ (х, z) = 1, то μ(х, z) = 1 и (х, z) G.

Операция (min) соответствует «и» в пропозиционной логике, а операцияпо всем у) соответствует результату, который

можно получить посредством импликации .Рассмотрим несколько примеров применения формулы (6.8) (или, что то же самое, (6.9)).

Пример 1 (рис. 6 4).

Рис. 6.4

Это отношение транзитивно. В качестве уп­ражнения произведем полную проверку. Нужно выполнить 16 × 4 операций (Чтобы проверить транзитивность, для конечного множества Е мощности п, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции принадлежности, нужно выполнить п2 раз п операций, т. е. п3 операций.)

Дуга (А, А).

(6.11)

Дуга (А, В).

Дуга (А, С).

Дуга (A, D).

Дуга (В, А).

Дуга (В, В).

Дуга (В, С).

Дуга (В, D).

Дуга (С, А).

Дуга (С, В).

Дуга (С, С).

Дуга (С, D).

Дуга (D, А).

Дуга (D, В).

Дуга (D, С).

Дуга (D, D).

Пример 2. Следующие нечеткие отношения транзитивны: