Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

Рассмотрим два нечетких мор­физма где множество Ф = MOR (X, Y), такое, что

(9.10)

(9.11)

Каждое нечеткое подмножество Гi может быть взято в композиции с каждым нечетким подмножеством Гj согласно закону композиции °, определенному для морфизмов; это дает

(9.12)

Тогда нечеткое подмножество

(9.13)

определяет композицию

Первый пример прояснит содержание этой сложной формулы.

Пример 1. Вернемся к рис. 9.1—9.3 и предположим, что

L = [0, 1]. (9.14)

Рассмотрим универсальное множество

(9.15)

и пусть

(9.16) (9.17)

есть два нечетких морфизма.

Закон композиции согласно определению (7.37) — это

обычный закон композиции двух отношений; с его помощью можно рассчитать композицию каждого Гi с каждым Гj.

Из рис. 9.3 можно легко видеть, что мы имеем

(9.18)

Чтобы облегчить понимание способа, которым рассчитывались эти композиции на рис. 9.4, приведем пример для Г4,3 = Г3 ° Г4 = Г4.

Рис. 9.4

Теперь для каждой упорядоченной пары (Гi , Гj) подсчитаем

(9.19)

Далее для каждого Гk, k 1, 2, 3, 4, подсчитаем

Получим соответственно

(9.20)

И, наконец,

(9.21)

Замечание. Для подсчета композиции

необходимо, чтобы все Гi, допускали композицию со всеми Гj и чтобы в ком­позиции Гi и Гj каждое отображение Гk Ф получалось по крайней мере один раз.

Пример 2. Покажем, что если L = {0, 1}, то формула (9.13) приводит к обычной композиции двух обычных подмножеств морфизмов.

Опять воспользуемся примером с рис. 9.1—9.3. Пусть

(9.22) (9.23)

Применение установленных выше правил дает

(9.24)

Заметим, что если Г1 и Г2 содержат только по одному элементу, то композиция Г1 и Г2 приводит к обычной композиции соответствую­щих единственных элементов с их степенями принадлежности. Таким образом,

(9.25)

и

(9.26)

дают

(9.27)

что сводится к композиции

Пример 3. Вернемся снова к примеру 1, в котором рассматрива­лись две группы G4 и G5, но на этот раз вместо интервала [0, 1] для L рассмотрим конечную дистрибутивную решетку (рис. 9.5). На рис. 9.6 представлены таблицы для операций ∆ и .

Рис. 9. 5 Рис. 9.6

Рассмотрим два нечетких морфизма универсального множества

(9.28) (9.29) (9.30)

Формулы (9.18) не изменятся, но формулы (9.19) станут, очевид­но, другими, однако мы используем те же самые обозначения. Для каж­дой упорядоченной пары (Гi и Гj) рассчитаем

(9.31)

Теперь для каждого Гk, k = 1, 2, 3, 4, оценим

Последовательно найдем для

(9.32)

И, наконец,

(9.33)

Замечание. Здесь можно сделать то же замечание, какое было сде­лано после вывода композиции (9.21).

Пример 4. Рассмотрим опять пример 3 из § 7.8. Там мы имели дело с категорией С всех интервалов [X, X'] [а, b], а R, b R, где морфизмы были функциями, которые [X, X'] [а, b] ставили в со­ответствие [Y, Y'] [а, b].

Теперь рассмотрим упорядоченную паругде

и аналогично

Если f — функция из будем писать

(9.34)

Теперь пусть Ф — множество всех таких функций f (Ф не конеч­ное множество, но это не имеет значения). Возьмем множество L, которое, как уже указывалось, в § 7.4, может быть решеткой, кольцом и т. д.

Тогда множество LФ определит множество L-нечетких С-морфизмов

(9.35)

Теперь можно найти композицию

(9.36)

(9.37)

используя

(9.38)

Таким образом,

(9.39)

т. е. определена композиция F1 с F2.

Обобщение композиции L-нечегких С-морфизмов.

Формулу (9.13) можно обобщить. Закон композиции обычных мор - физмов будет обозначаться ; таким образом,

Гi, Гj Ф = MOR (X, Y). Пустьесть закон для L, который по пред­положению ассоциативен:

(9.40)

Заменим определение (9.13) на

(9.41)

Символ(объединение по всем i и j, дающим k) здесь введен пото­му, что различные i и j могут привести к одному и тому же k.

В таком представлении закон композиции обычных морфизмов может отличаться от закона композиции, определенного в (7.39), но поскольку рассматриваемый здесь морфизм — это С-морфизм, то, как указано в (8.2) и (8.3), закон ассоциативен и существует единица.

Свойства L-нечетких С-морфизмов. Исследуем несколько свойств

L-нечетких С-морфизмов.

Ассоциативность. Пусть

(9.42)

тогда

(9.43)