Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

Элементами Еj (j=1, ..., р) множества ∑ являются векторы

Еj= (а1j, ..., апf; b1j, ..., bnj), где аkj обоз­начает число единиц системы вооружений (т. е. пушки, количество информации, экономические факторы и т. д.) вида k у соперника X на j-м этапе процесса разоруже­ния, а bkj — те же самые характеристики для соперника Y. Каждый соперник X и Y будет выбирать множество правил, применение которых к начальному состоянию вооружений дает новое состояние. Те же самые или другие правила могут быть применимы к новому состо­янию для получения третьего состояния и т. д. Общая схема сокращения вооружения X будет образовывать множество состояний, которые совсем не обязательно оказываются приемлемыми для Y.

Цель состоит в том, чтобы найти состояния, в кото­рых может быть достигнуто соглашение, и затем уста­новить правила сокращения вооружений в этих состоя­ниях. Считается, что начальное состояние, к которому применяются правила, является равновесным с точки зрения обеих сторон. Причины этого не обязательно только военные, но и политические, экономические и др. Далее будет показано, что процесс разоружения зави­сит от компенсирующих факторов, используемых обеими сторонами. Рассмотрим теперь, как можно получить множество ∑. Равновесие, или устойчивое состояние, яв­ляется допустимым состоянием для обеих сторон. При выборе допустимых состояний для X естественно поло­жить, что akj=αkjbkj, где αkj — компенсирующий фактор. Действительно, необходимо провести сравнение по всем видам вооружений Y.

Очевидно, в такой постановке важно правильно вы­брать общий знаменатель для единиц сокращаемого вооружения. Таким образом, если существует численное превосходство по одному виду оружия, то его можно компенсировать отсутствием превосходства по другому виду. Отсутствие превосходства (или его наличие) αkj должно оцениваться в общих единицах измерения обоих рассматриваемых видов оружия. Действительно, компен­сация может быть основана на нескольких видах ору­жия (а не на одном) и, следовательно, требуется общая единица измерения.

Единственный фактор оценки может оказаться недо­статочным для определения допустимости данного со­стояния. Будем считать, что Ej принадлежит к множест­ву допустимых состояний ∑x для стороны X, если величи­на ||αj||, называемая нормой вектора компенсирующих факторов αj = (α1j,..., αnj), не меньше, чем некоторое число α, выбранное стороной X. Норма || αj || является некоторой мерой всех αkj (k=1,..., n). Учитывая раз­личную важность разных видов оружия, в кaчестве нор­мы удобно принять

где wk — средний вес k-го вида оружия в различных конфликтных ситуациях. Аналогично можно ввести βk и ||βj|| для определения множества допустимых состояний ∑y стороны Y. Заметим, например, что состояние (0,..., 1; 1,..., 1) допустимо для Y, но недопустимо для X, по­этому оно принадлежит ∑y. Аналогично, состояние (1, ..., 1; 0, ..., 0) принадлежит ∑x. Легко предположить, что такие состояния допустимы, так как одна из сторон имеет нулевое вооружение. Наконец, множество допусти­мых равновесных состояний (для X и Y) есть ∑ =∑x ∑y , т. е. оно соответствует общей части выделенных мно­жеств.

Одна из задач управления вооружениями состоит в нахождении правил их сокращения (слово «сокращение» используется здесь в широком смысле, так как в процессе общего сокращения может наблюдаться рост по отдель­ным видам оружия). Независимо от своего конкретного вида правила сокращения вооружений должны обеспе­чить переход от одного состояния к другому на множе­стве ∑. Правила, используемые сторонами, не обязательно должны совпадать, так как, например, множество ∑x бу­дет содержать состояния, не входящие в ∑y, и наоборот. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такие правила, которые обеспечивают последовательные пере­ходы на множестве ∑ и никогда не выводят за его преде­лы. Практически такие правила обычно совпадают с правилами, определяющими состояния.

Пусть мы имеем теперь список всех элементов мно­жества ∑. (Ясно, что на практике такой список получить трудно, так как ни одна из сторон обычно не хочет сооб­щать своих компенсирующих факторов. Однако цен­ность такого подхода состоит в том, что он позволяет примерно оценить компенсирующие факторы противника, предлагая различные правила, которые тот принимает или отвергает.)

Очевидно, число этих элементов является конечным, хотя эскалация вооружений увеличивает мощность мно­жества ∑ со временем. Предположим для простоты, что состояния ∑ есть E1, ..., Еr.

Если задача нахождения правил перехода решена, то возникает следующая задача, как использовать эти правила, чтобы получить все те состояния, которые попадают на путь сокращения вооружений, идущий из заданного начального состояния, например, Е в любое промежуточное состояние Eq (q≤r). Если такого пути не существует, то правила оказываются неприемлемыми и должны быть изменены, чтобы обеспечить возможность выполнения шагов по разоружению. Ясно, что переход из начального состояния в заданное промежуточное можно осуществить за один шаг. Однако большие шаги в разоружении могут привести ко многим неблагоприят­ным последствиям, поэтому процесс необходимо осущест­вить сравнительно небольшими шагами. Кроме того, разо­ружение за один шаг может быть неприемлемо для обеих сторон и неосуществимо из соображений безопасности, так как выполнение и контроль практических действий по разоружению требует определенного времени. Такой подход можно использовать только при определении воз­можности достижения заданного состояния из началь­ного при использовании данного набора правил. Дру­гими словами, далеко не каждый метод, даже если он и кажется хорошим, может гарантированно привести в устойчивое заданное состояние при многократном его использовании.

Первая задача, связанная с выбором правил перехо­да, не является математической. Ее решение зависит от многих политических, военных и экономических факто­ров. Однако задача использования выбранных правил для определения возможных промежуточных шагов разо­ружения может исследоваться математически, даже если правила меняются при переходе от шага к шагу. В последнем случае состояние, в котором произошло из­менение правил, должно считаться новым начальным состоянием и к нему может быть применен тот же метод. Если теперь каждому состоянию поставить в соответ­ствие вершину графа, то можно использовать для реше­ния данной задачи методы, рассмотренные ранее при анализе задач переходов состояний.

5.28. Лингвистика

Язык состоит из конечного множества различных символов, образующих алфавит, и конечного множест­ва правил соединения символов. Множество правил образует грамматику Г; последовательности символов, которые можно получить в соответствии с Г, называют­ся цепочками (strings) ∑ языка. В частности, символы алфавита можно рассматривать как частный вид цепо­чек из данного символа. Таким образом, любой язык Λ полностью определяется как Λ= (∑, Г).

Типичная задача математической лингвистики состо­ит в определении принадлежности заданной цепочки ∑0 к некоторому языку. При решении такой задачи цепочка изображается в виде диаграммы, в ней выделяются грамматические типы, например, существительные, гла­голы и группы (рис. 5.64).

Рис. 5.64.

В общем случае естественные языки нельзя полностью характеризовать только одними грамматиками (Чомский, 1962). Важнейшие задачи со­стоят в том, чтобы найти:

1) подмножества, которые можно характеризовать грамматикой,

2) адекватную (неграмматическую) мо­дель естественного языда.

При анализе цепочек естественного языка возникают следующие две задачи.

1. Задача, связанная с наличием абсурдных цепочек, например, «зеленые идеи спят свирепо».

2. Задача, связанная с грамматической неопределен­ностью, например, pretty little girls'camp (Эту фазу можно понимать различным образом:

1) Дача прелестной маленькой девочки.

2) Прелестная дача маленькой девочки.

3) Прелестная маленькая дача девочки.).

Второй пример можно представить схемой из не­скольких различных групп существительных, хотя опре­деленные группы существительных всегда можно исполь­зовать эквивалентным образом.

Определение грамматики

Категория есть множество цепочек, обозначенных одним именем. Существуют три типа категорий.

1. Произвольные множества односимвольных цепочек.

2. Произведение категорий; с=АВ С содержит все цепочки c=ab, где а А, bВ.

3. Объединение категорий:

Грамматика есть список категорий и их производных. Категории в списке в общем случае не упорядочены.

Единственно, что требуется, это чтобы производные ка­тегории, образуемые, например, объединением некоторых исходных, стояли в списке позже исходных категорий. Такое ограничение позволяет избежать цикличности типа