Дискретно-непрерывная математика (стр. 51 )

4. Обобщение понятия нечеткого множества и нечеткого графа

4.1. Введение

В этой главе рассматривается обобщение работы Заде, предложенное Гогеном. Основная идея состоит в следу­ющем. В теории нечетких подмножеств, разработанной Заде, элемен­ты универсального множества Е принимают свои значения во мно­жестве М = [0,1]; Гоген предложил разрешить этим элементам принимать свои значения во множестве, наделенном более общей структурой. Это обобщение потенциально очень богато, но вводит не­которые сложности.

Чтобы начать изучение, следует изложить некоторые понятия тео­рии решеток для читателя, который забыл или никогда не изучал ее.

В своем обобщении Гоген опирался на работу Биркгоффа, которая до сих пор считается наиболее авторитетным источником по теории решеток.

Несколько замечаний по терминологии: понятие «нечеткое под­множество» будет использовано в смысле Заде (М = [0,1]), через L будем обозначать «нечеткое подмножество» в смысле Гогена (мно­жество М обобщается до L, a L — множество, которое в дальней­шем часто наделяется структурой решетки). Буква L — начальная буква английского слова «lattice» — решетка.

4.2. Операции на обычных множествах

Ранее мы видели, как действуют некоторые операции на обычных подмножествах универсального множества; теперь рассмотрим три важные операции, имеющие отношение не к подмножествам одного и того же универсального множества, а касающиеся самих множеств, различных или нет.

Произведение двух множеств. В действительности мы уже говорили об этом неявно, когда вводили понятие графа. Еще раз подробно рассмотрим понятие произведения двух множеств.

Пусть E1 и Е2—два множества и х Е1 и у Е2. Множество упоря­доченных пар (х, у) называется произведением Е1 и Е2. Это произве­дение множеств обозначается Е1 × Е2.

Имеем

Е1 × Е2≠ Е2 × Е1, если Е2 ≠ Е1 — некоммутативность, (2.1)

(Е1 × Е2) × Е3 = Е1 × (Е2 × Е3 — ассоциативность). (2.2)

Пример.

(2.3)

(2.4) (2.5) (2.6) Если

(2.7)

то

(2.8)

Аналогично можно разложить правую сторону равенства (2.2).

Для п множеств E1 , Е2, ..., Еп можно определить

(2.9)

Изменяя в этом произведении порядок, можно определить всего

п! = п(п — 1) ...2·1 различных произведений, если все исходные множества различны.

Дизъюнктивная сумма двух множеств. Дизъюнктивную сумму здесь нельзя определить так же, как это сделано для подмножеств одного и того же универсального множества, поскольку мы не определили, что будем называть дополнением к множеству. (Если бы это было сделано, то дизъюнктивную сумму можно было бы определить через дополнения к подмножествам относительно универсального множества). Поэтомуопределим следующим образом:

есть множество, образованное всеми элементами Е1 и Е2, за исключением тех, которые принадлежат одновременно Е1 и Е2.

(2.10)

Пример. Рассмотрим еще раз (2.3) и (2.4), тогда

(2.11)

В этом примере Е1 и Е2 не имеют общих элементов. Сумма (2.10) обладает следующими свойствами:

—коммутативность, (2.12)

—ассоциативность. (2.13)

Для операций произведения и дизъюнктивной суммы выполняется свойство дистрибутивности

(2.14) (2.15)

(дистрибутивность слева и справа для ).

Рассмотрим пример.

Пример. Пусть даны (2.3), (2.4) и (2.7) Тогда

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Можно легко проверить, что соотношения (2.17) и (2.20) опреде­ляют одно и то же множество.

Отметим, что для произведения дистрибутивность не выполняется ни слева, ни справа. Рассмотрим опять соотношения (2.3), (2.4) и (2.5).

, (2.21)

(Отметим, чго для обычного умножения и сложения чисел утверждение а (b + с) — ab +ас истинно, а утверждение

а + bс = (а + b) (а + с) ложно.)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Множество отображений Е1 в Е2. Множество функциональных отображений (имеются в виду однозначные отображения или просто функции) Е1 в Е2 обозначается(как степень).

Пример получим непосредственно, если обратимся к соотношени­ям (2.3) и (2.4) и используем несколько графовых представлений (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1

Из рисунка видно, что если

(2.27)

и

(2.28)

то

(2.29) Мощность равна

(2.30)

Для данного примера

(2.31)

Если E1 или (и) Е2 бесконечно, то бесконечна. (2.32)

Основные операции на множествах. Сведем воедино все полученные выше результаты. Пусть Е1, Е2 и Е3 — множества; тогда

(2.33)

(2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38)

(2.39)

(Здесь расстановка скобок имеет значение Та-

ким образом, в общем случае операция возведения в степень не ассоциативна).

4.3. Основные свойства множества отображений

Множество отображений Е в L обозначается

LЕ (3.1)

Установим следующие важные свойства.

Каждый внутренний закон *, определенный на L, индуцирует соот­ветствующий внутренний законна LE.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Вернемся к (2.29) и положим

(3.2)

где

(3.3)

и

(3.4)

Положим, что на L определен внутренний закон *

(3.5)

и посмотрим, как индуцируется закон на LE. Например,

(3.6)