Дискретно-непрерывная математика (стр. 49 )

3.4. Нечеткие моноиды

Нечетким моноидом называется любой ассоциативный нечеткий группоид, имеющий единицу. Отметим, что многие авторы не требуют в этом определении обязательного наличия единицы, но мы будем по­лагать это требование выполненным во всем, что будет рассматривать­ся ниже.

Если моноид к тому же обладает свойством коммутативности, его называют коммутативным моноидом.

Все следующие ниже нечеткие группоиды, определенные с помощью их функций принадлежности, внутренние законы которых также оп - ределены и указаны ниже, являются моноидами и при том коммута­тивными.

(4.1)

Ассоциативность группоидаочевидна. Единицей служит

универсальное множество Е.

(4.2)

Ассоциативность группоидаочевидна. Единицей служит

. Группоид

(4.3)

ассоциативный, с единицей Е. Группоид

(4.4)

ассоциативный, с единицей .

(Уравнения (4.3) и (4.4) будут определять внутренние законы при усло­вии, что М = [0, 1] или М = {0, 1}. Однако эти уравнения могут и не задавать внутреннего закона, например, для М = {0, 1/2, 1}, так как (1/2) (1/2) = 1/4 М).

Группоид

(4.5)

ассоциативный, с единицей .

Нечеткий моноид обозначается (Е, *) или, что предпочтительнее,

Рассмотрим несколько нечетких группоидов, которые не являются моноидами.

Пример 1. Пустьопределяется соотношением

(4.6)

Положим

(4.7)

и обозначим

(4.8)

Легко показать, что

(4.9)

т. е.

(4.10)

Например, если

а = 0,3, b = 0,5, с =0,9, (4.11)

то имеем

(4.12) (4.13)

Этот коммутативный группоид не моноид, поскольку не обладает свойством ассоциативности.

Пример 2. Используя обозначения (4.7), положим

(4.14)

Имеем

(4.15) (4.16)

(4.17)

Таким образом, свойство ассоциативности не выполняется, за ис­ключением случая k = 1.

Нечеткий подмоноид. Пусть — нечеткий моноид и

замкнуто относительно закона *, тогда ∆ будет называть­ся нечетким подмоноидом моноида и обозначаться (∆, *).

Рис. 4.1

Рис. 4. 2

Рис. 4.3

Пример. Рассмотрим моноид) (рис. 3.1). На

рис. 4.1—47.3 представлены подмоноиды этого моноида:

∆ = {(0, 0), (1/2, 1)}, (4.18)

∆' = {(0, 0), (0, 1/2), (1, 1/2)}, (4.19)

∆" = {(0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (1/2, 1)}. (4.20)

Существует несколько других таких подмоноидов, которые чита­тель может сам перечислить в качестве упражнения.

Конечно, все эти моноиды должны включать единицу (0, 0) [см. (4.2)].

Теорема. Если (∆, *) и (∆', *) подмоноиды моноида то — подмоноид моноида

Доказательство. Очевидно, что для пересечения моноидов сохраняется единица и выполняется свойство ассоциативности. Те­перь покажем, что ∆ ∩ ∆' замкнуто относительно операции *.

ПустьТогдапо предположению принад-

лежит ∆ и ∆' (поскольку в противном случае ∆ или (и) ∆' не будут замкнутыми относительно *); но тогда принадлежит ∆ ∩ ∆'

и, значит, ∆ ∩ ∆' замкнуто относительно *.

Для объединения моноидов свойство замкнутости относительно операции * в общем случае не выполняется.

Нечеткие группы. Можно задать следующий вопрос: существуют ли реально группы, которые являются нечеткими (необычными), если рассматривать операции

Известно, что группа представляет сооой моноид, в котором для каждого элемента существует и при том единственный обратный элемент.

В разделе IV мы покажем, что необходимое условие для того, чтобы мо­ноидимел групповую структуру, состоит в том, чтобы

М =[10, 1] было наделено групповой структурой для операции, соот­ветствующей *. Более того, мы увидим, что в любом случае

М = [0,1] можно наделить групповой структурой с помощью некото­рой операции °.

М = [0, 1] можно рассматривать как векторную решетку, которая состоит из единственной цепи, образующей полный порядок. Рассмот­рим операции (минимум), (максимум), • (произведение),

алгебраическая сумма), (дизъюнктивная сумма). Каждая из этих операций ассоциативна и для каждой существует единица, роль которой, в зависимости от случая, играет 0 или 1; однако почти оди­наково для каждого случая легко доказать, что для каждой из этих операций не существует обратных элементов. Мы сделаем это для oпe-

рации . Рассмотрим пару (а, b) М × М, где М=[0, 1] и 0<а< b < 1. Единицей для операции служит 1. Существует ли такое а или b, что

(4.21)

Нет, не существуют, поскольку

(4.22)

С другой стороны, если мы возьмем М = {0, 1} , то обнаружим, что групповая структура возможна.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Рис. 4.6

Так, на рис. 4.6 показано, что относительно операций или группа не получается (и, следовательно, не получается группа от­носительно любой из операций • и которые в булевом случае дают эквивалентные операции). И, наоборот, получаем группу, если берем операцию . Группа получится и в том случае, когда рассматривается

операция(инверсная дизъюнктивная сумма). Отметим, что две груп­пы иоказываются изоморфными в результате перестановки эле­ментов 0 и 1. Эти группы различаются по фактической реализации, но как абстрактные группы они одинаковы.

Отсюда следует, что если рассматривать любую из операций

∩, и М= [0, 1], то нанельзя определить групповую структуру.