Дискретно-непрерывная математика (стр. 47 )

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим еще раз (2.1) и (2.2) с законом

(2.6)

т. е.

(2.7)

Таким образом, мы построили группоид, представленный на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Пример 2. Попробуем определить «нечеткие положительные целые числа». Начнем с определения нечеткого числа с функцией принад­лежности произвольной, но такой, что

(2.8)

Например,

(2.9)

Построимследующим образом:

(2.10)

Таким образом,

(2.11)

Закончим построения на числе , используя формулу, которая обоб­щает (2.10):

(2.12)

В этом выражении можно узнать преобразование свертки, используе­мое в теории вероятностей и в преобразованиях линейных функций.

Дляимеем

(2.13) Таким образом,

(2.14)

Таким путем процесс построения продолжается далее. Отметим, что нечеткий характер построенных чисел проявляется все сильнее с рос­том их значений.

Позже мы познакомимся с некоторыми частными свойствами груп­поидов. Здесь же отметим, что построенные нами группоиды обладают следующими свойствами:

(2.15) (2.16)

При этом нужно выбирать такими, чтобы

(2.17)

Это условие соответствует использованию произведения — сверт­ки (2.12).

Пример 3. Возьмем функцию принадлежности, которую мож­но рассматривать как закон распределения вероятностей. Рассмотрим два нечетких подмножества

с помощью которых получим другие нечеткие подмножества (таким образом мы рассматрива­ем как нечеткие множества, порождающие бесконечное число других нечетких подмножеств). Пусть

(2.18)

(2.19)

Теперь рассмотрим следующий закон композиции:

(2. 20)

Он определяет нечеткое число

Аналогично порождаются другие нечеткие числа:

(2.21)

где верхние индексы указывают на то, что проведено r — 1 компози­ций нечеткого числа и s — 1 композиций нечеткого числа

Из двух нечетких чиселможно образовать композиции

(2.22)

и множество

(2.23)

наделенное структурой группоида, который к тому же обладает свой­ствами ассоциативности и коммутативности, присущими закону (2.20).

3.3. Основные свойства нечетких группоидов

Пусть * есть закон внутренней композиции нечеткого группоида; определим несколько свойств группоидов. Группоид будет обозначать­ся

Коммутативность. Если для всех упорядоченных пар

выполняется условие

(3.1)

то говорят, что закон внутренней композиции коммутативен; также говорят, что группоид коммутативен. Например, группоид на рис. 2.3 коммутативный, в то время как на рис. 2.2 — нет. Для примера на рис. 2.3 можно проверить, что

{(А|1/2), (В|1)} {(A|l), (В|0)} = {(А|1/2), (В|0)}, (3.2)

{(А|1), (В10)} {(АЦ/2), (ВЦ)} = {(А|1/2), (В|0)>. (3.3)

Исходя из данного определения закона * для нечетких подмно­жеств, можно заключить, что если

(3.4)

то из коммутативности для следует коммутативность для * и на­оборот. Очевидным примером служат выражения (2.6) и (2.7). Ассоциативность. Если

(3.5)

то говорят, что закон ассоциативный; говорят также, что группоид ассоциативен.

Так, группоид на рис. 2.3 ассоциативен, а на рис. 2.2 — нет. Можем это проверить, например, для группоида на рис. 2.3, исполь­зуя сокращенное обозначение

(3.6)

(3.7)

Исходя из данного определения закона для нечетных подмножеств, можно заключить, что если

(3.8)

то из ассоциативности дляследует ассоциативность для * и наобо­рот.

Единичный элемент. В теории обычных множеств для рассматри­ваемого закона * выделяют особый элемент е Е, если он существует, такой, что

(3.9)

Этот элемент называют левой единицей. Аналогично элемент е' Е, если он существует, такой, что

(3.10)

называется правой единицей.

Элемент, который является одновременно и левой и правой едини­цей, называется единицей.

Если единичный элемент существует, то он единственный. Дейст­вительно, если бы существовал другой такой элемент ε, то мы имели бы

(3.11)

Аналогично можно определить единичный элемент в нечетком груп­поиде. Покажем сначала на примере, что это действительно возмож­но, а затем перейдем к общему определению. Рассмотрим пример на рис. 2.3. Очевидно, что элемент (1,1) будет одновременно как левой, так и правой единицей, т. е. просто единицей. Действительно,

(3.12)

Будем говорить, что нечеткий группоид с законом композиции * обладает левой единицей если

(3.13)

и правой единицейесли

(3.14)

и имеет единицуесли

(3.15)

В примере на рис. 2.3 представлен случай, когда нечеткий группо­ид имеет единицу. Теперь рассмотрим другой случай, когда нечеткий группоид не обладает единицей. Такая ситуация возникает в примере, рассматриваемом в (2.8)—(2.16). С помощью элементаневозможно генерировать ни четкое подмножество, обладающее свойством (3.15), ни нечеткое подмножество, обладающее свойством (3.13) или (3.14).

Обратные элементы. Напомним, что понимается под обратным эле­ментом в теории обычных множеств.

Рассмотрим закон, для которого существует единичный элемент е. Теперь пусть а и— два элемента. Если