Дискретно-непрерывная математика (стр. 60 )

(7.31)

Таким образом, поскольку отображение Г — эпиморфизм и мономор­физм, то оно изоморфизм. Если отождествить В и С, D и F, то изо­морфизм станет очевидным.

Пример 8 (см. рис. 7.17). Читатель может проверить, что это так­же изоморфизм. Это видно непосредственно из рисунка.

Эндоморфизм упорядоченного множества в себя. Морфизм упоря­доченного множества Е в себя называется эндоморфизмом.

Автоморфизм упорядоченного множества в еебя. Изоморфизм Е на себя называется автоморфизмом.

Двойственность двух упорядоченных множеств. Два упорядочен­ных множества Е и Е' двойственны друг другу, если взаимно-обрат­ные отображения Г и Г-1 биективны и антитонны.

Рис. 7.18. Эндоморфизм

Рис. 7 19. Автоморфизм Рис. 7 20. Двойственность

Пример 9 (см. рис. 7.18) на эндоморфизм: проверим, что это отоб­ражение действительно морфизм Е в Е:

(7.32)

Таким образом, это отображение действительно морфизм и поэтому эндоморфизм Е в Е.

Пример 10 (см. рис. 7.19) на автоморфизм: легко проверить, что отображение Г есть изоморфизм и обратное отображение Г-1 — тоже изоморфизм. Отображение Г есть автоморфизм Е на себя.

Пример 11 (см. рис. 7.20) на двойственность: проверим антитон-ность:

(7.33)

Это условие удовлетворяется. Для отображения Г-1 его можно проверить непосредственно, по симметрии. Таким образом, отображе­ние биективно, а упорядоченные множества Е и Е-1 — двойственны.

Морфизм структуризованного множества Е1 в структуризованное множество Е2. Мы рассмотрели понятие морфизма и другие понятия, связанные с упорядоченными множествами. Продолжим изучение это­го понятия, но на этот раз каждое из двух множеств Е1 и Е2 будет об­ладать определенной структурой.

Пусть Е1 и Е2 — два множества, для которых определены законы внутренней композиции * и *' соответственно, не обязательно опре­деленные всюду.

Если

(7.34)

(мы должны писать но для упрощения

записи фигурные скобки опустили. Это здесь возможно потому, что в силу функциональности отображения) и если отображение Г функциональное, т. е. функция, то говорят, что это отображение есть морфизм структуризованного множества Е1 в структуризованное множество Е2.

Отметим, что в проведенных рассмотрениях мы ограничились по­нятием морфизма для функциональных отображений, когда любому

х Е1 сопоставлен один и только один у Е2.

Если отображение Г инъективно, этот морфизм будет называться мономорфизмом.

Если отображение Г сюръективно, этот морфизм будет называться эпиморфизмом.

Если отображение Г биективно, этот морфизм будет называться изоморфизмом.

Когда Е1 = Е2 и * = *', этот морфизм будет называться эндомор­физмом. В случае изоморфизма он будет называться автоморфизмом.

Как можно видеть, мы снова получили определения, касающиеся упорядоченных множеств, но условие изотонности здесь заменено условием (7.34), а отображение стало функциональным.

Пример 1. Рассмотрим множество Е1, на котором определен внут­ренний закон * (рис. 7.21, слева), и множество Е2, на котором опре­делен закон *' (рис. 7.21, справа). В центре рис. 7.21 определяется морфизм Е1 в Е2.

Рис.7.21

В качестве упражнения проверим, что отображение Г есть дей­ствительно морфизм Е1 в Е2. Имеем

(7.35)

Мы убедились, что для всех упорядоченных пар (х, у) Е1 * Е2 условие (7.34) действительно удовлетворяется. Заметим, что пары

(и, v) Е2 × Е2, в которые входит хотя бы один элемент, отличный от α,β и γ, не влияют на отношение (7.35).

Пример 2. На рис. 7.22 представлен морфизм Е1 в Е2. На рисун­ке показано, что отношение, связанное с одним из множеств, не обя­зательно нужно определять полностью, например, для внутреннего закона *' в Е2.

Рис. 7. 22

Пример 3. На рис. 7.23 представлен морфизм Е1 в Е2. Он соответ­ствует морфизму на рис. 7.15 при условии, что проведены отождеств­ления * = ∆ и *' =∆'.

Рис. 7.23

Пример 4. На рис. 7.24 предстаблен эпиморфизм Е1 в Е2.

Рис. 7.24

Он со­ответствует эпиморфизму на рис. 7.13 при условии, что

*= ∆ и *' = ∆'.

Пример 5. На рис. 7.25 представлен изоморфизм Е1 в Е2.

Рис. 7.25

Он соот­ветствует изоморфизму на рис. 7.17 при условии, что мы положили *= ∆ и *' = ∆'.

Пример 6. На рис. 7.26 представлен эндоморфизм Е в Е.

Рис. 7 26

Пример 7. На рис. 7.27 представлен автоморфизм Е на Е.

Рис.7.27

Он со­ответствует автоморфизму на рис. 7.19 при условии, что *= ∆.

Пример 8. Автоморфизм Е на Е представлен на рис. 7.28, где сле­ва имеем закон *, а справа — закон *' ≠ *. В действительности, об­ращаясь к рис. 7.20, мы видим, что * = и *' = ∆, где морфизм Е на Е устанавливает двойственность для отношений порядка, отра­женного на рис. 7.20.

Рис. 7 28

Теперь рассмотрим несколько примеров, в которых структуры не соответствуют отношениям порядка.

Пример 9. На рис. 7.29 представлен мономорфизм группы (Е, *) в группу (Е′, *').

Рис. 7.29

Пример 10. На рис. 7.30 представлен эпиморфизм группы (Е, *) на группу (Е', *').

Рис. 7.30

Пример 11. На рис. 7.31 представлен тривиальный автоморфизм (изоморфизм (Е, *) в (Е, *)). Можно показать, что существует только четыре конечные группы порядка 6 и только одна из этих четырех групп допускает нетривиальный автоморфизм (как на рис. 7.32, на котором изображена неабелева, т. е. некоммутативная, группа).

Рис. 7.31

Пример 12. На рис. 7.32 представлен нетривиальный автоморфизм

(Е, *) в (Е, *) (см. замечание, сделанное в примере 11 к рис. 7.31).

Замечание. Во всех примерах данного параграфа множества Е ко­нечные, однако все проведенные рассуждения применимы к произволь­ным множествам. Как обычно, примеры на конечных множествах мы рассматривали с дидактической целью.

Рис. 7.32

Композиция двух обычных отношений. Пусть X, Y и Z — три

множества; рассмотрим два обычных графа G1X× Y и G2 Y× Z, с которыми свяжем обычные отношения (можно также сказать, что — это соответствия, связанные с G1 и G)2. Пусть

(х, у) G1 и (у, z) G2; составим упорядоченные пары (х, z), такие и только такие, что существует элемент у Y, такой, что (х, у) G1 и (у, z) G.2. Тогда множество упорядоченных пар (х, z) образует граф G1,2. скомпонованный из G1 и G2. Введем обозначения: