Дискретно-непрерывная математика (стр. 33 )

Этому нечеткому подмножествусоответствует нечеткое под-

множество в Е2, скажемкоторое будет определяться форму-

лой (5.2). Проведем вычисления.

Сначала подсчитаем Имеем

i(5.9)

(5.10)

Аналогичные подсчеты нужно провести для у2 и у3. Тогда получим

Таким образом,

(5.11)

Другое представление условного нечеткого подмножества. Как

мы увидим ниже, для нечетких подмножеств выражение (15.2) играет ту же самую роль, что и понятие функции для элементов формальных множеств. Понятие функции для этих элементов можно выразить та­кой фразой: «если х = а, то в соответствии с функцией f у = b», ко­торую можно записать в виде

(5.12)

или в виде

y = f(x). (5.13)

Понятие условного нечеткого подмножества играет в точности ту же роль, но вместо того, чтобы рассматривать элементы х Е1, у Е2 и отношение f, являющееся функцией, введем следующее определение.

Пустьрассмотрим нечеткое отношение

между Е1 и Е2. Теперь определим: еслито в соответствии с от-

ношением имеем; это можно записать в виде

(5.14)

Если — функция принадлежности нечеткого отношения , — отношения — отношения то

(5.15)

Это выражение устанавливает другое представление условных нечет - ких подмножеств. Далее мы убедимся в важности этого понятия.

Рассмотрим пример использования этого представления.

Пример 1

(5.16)

(5.17) (5.18)

• (5.19)

Перепишем (5.17) в виде

(5.20)

Теперь проведем операцию взятия MIN для всех элементов строки (5.20) и столбца у1 (5.19); это даст

(5.21)

После выполнения операции МАХ на элементах полученного столбца имеем

(5.22)

Таким образом,

(5.23)

Проделав то же самое между элементами (5.20) и остальными столб­цами (5.19), получим

(5.24)

И окончательно

(5.25)

или, что то же,

(5.26)

Пример 2. Очевидно, что формула (5.15) или (5.2) также приме­нима в случае, когда подмножества — обычные, а отношение — булево (т. е. формальное). В этом случае формулы принимают вид

(5.27)

где—булева сумма.

Пусть

(5.28)

(5.29) (5.30)

(5.31)

Тогда, производя булевы операции, указанные в (5.27), для под­множества

(5.32)

и отношения (5.31), находим

(5.33)

Пример 3. Рассмотрим теперь случай, когда универсальное мно­жество непрерывно. Пусть

(5.34)

(5.35) (5.36)

при k 2 > k1.

Рис. 5.1

Теперь определим минимум по х для(рис. 5.1, а) и

(рис. 5.1, б). Эти две кривые пересекаются в двух точках:

условие (5.37)

дает точку.

условие (5.38)

дает точку

На рис. 5. 1, в выделена кривая

(5.39)

максимум которой достигается при

(5.40)

Таким образом,

(5.41)

Общее замечание. Очевидно, можно задать следующий важный вопрос. Если при в соответствии с отношениемимеем , то можно ли отсюда заключить, что из в соответствии с обратным нечетким отношением получимгде — нечеткое отношение, обратное к

(Под обратным здесь понимается отношение, которое получается из дан­ного, если в таблице отношения заменить столбцы строками. (Это отношение лучше было бы назвать транспонированным, поскольку и следующей фразе под обратным кподразумевается такое отношение , что когда —тождественное отношение на X.)

За исключением частных случаев, об­ратный переход от посредством к невозможен: и в этом смысле отношениене будет отношением, обратным к отношению

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример (5.16)—( 5.20) и формулу (5.27): нечеткое подмножество

(5.42)

и отношение

(5.43)

дают нечеткое подмножество

(5.44)

Тогда как и

(5.45)

дали бы

(5.46)

Таким образом, здесь ситуация та же, что и при матричном исчислении в линейном векторном пространстве, где [М] {х} = у и [М]' {у} ≠ {х}. Если матрица [М] квадратная и невырожденная, то [М] имеет обратную матрицу [M] -1, такую, что