Дискретно-непрерывная математика (стр. 32 )

(3.23)

или

(3.24)

Это подмножество — внешность круга радиуса включая его границу — окружность (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6

Обычное подмножество Gα можно определить другим способом, с помощью обычного отношения такого, что

(3.25)

Вернувшись к примеру на рис. 3.5, можно записать

(3.26)

(3.27)

Для примера на рис. 3.6 очевидно, что условия

(3.28)

определяют обычное отношение

Важное свойство. Мы установили очевидное свойство

(3.29)

или, что то же самое,

(3.30)

Докажем важную теорему.

Теорема декомпозиции (Слово «декомпозидияз здесь употребляется в смысле, отличном от смысла этого слова при рассмотрении (max—min) или других композиций отношений.). Любое нечеткое отношение можно представить в форме.

(3.31)

где

(3.32)

Здесь записьобозначает, что все элементы обычного отноше-

нияумножаются на α.

Доказательство. Функцию принадлежности для отноше­ния , определенного в (3.31), можно записать в виде

(3.33) Пример 1.

Пример 2. В соответствии с (3.25) декомпозиция остается спра­ведливой и в случае, когда X или/и Y имеют мощность континуума. Но тогда операция должна считаться выполненной (если

необходимо) для континуального множеава значений в рассматривае­мом интервале

Рассмотрев пример (3.22) (см. рис. 3.6), можем записать

(3.35)

где

(3.36)

и—такая область, что

(3.37)

Композиция ближайших обычных отношений. Напомним, что

обозначает обычное отношение, ближайшее к нечеткому отношению Легко доказать, что

(3.38)

гдеобозначает (max— min)-композицию

Пример.

(3.39) (3.40)

2.4. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением

Рассмотрим отображение (здесь используются отображения, которые нет необходимости считать однозначными) Г множества Е1 в множество Е2, обо­значенное

(4.1)

где х E1 и y E2.

(4.2)

Пусть — функция принадлежности нечеткого подмножества тогда отображение Г индуцирует в Е2 нечеткое подмножество с функцией принадлежности

(4.3)

Пример 1 (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть

(4.4) (4.5)

Рассмотрим отображение, такое, что

(4.6)

Рассмотрим также отображение Г-1, обратное Г:

(4.7)

И, наконец, рассмотрим нечеткое подмножество

(4.8)

Тогда имеем

(4.9)

Эти результаты изображены на рис. 4.1.

Интересно сравнить это понятие с соответствующим понятием для обычных подмножеств. Рассмотрим рис. 4.2

Рис. 4.2

Пусть

(4.10) (4.11)

Имеем

(4.12)

Отображение Г подмножеству А = {х4, х5, х6, x8} ставит в соот­ветствие подмножество В = {у1, у2, у3}.

Пример 2. Пусть х R, у R, где R — множество действитель­ных чисел. Рассмотрим нечеткое подмножество определенное со­держательно как «х, ближайшее к (4k +1) π/2, k = ..., — 2, — 1, 0, 1, 2, ...». Рассмотрим также функцию

(4.13)

Тогда нечеткое подмножествоиндуцированное f(x), будет иметь вид

(4.14)

(рис. 4.3).

Рис. 4.3

2.5. Условные нечеткие подмножества

Нечеткое подмножество будет называться условным

на Е1, если его функция принадлежности зависит от х Е1 как от параметра.

Для записи условной функции принадлежности используют обозначение

(5.1)

Эта функция определяет отображение Е1 в множество нечетких подмножеств, определенных на Е2.

Таким образом, нечеткое подмножествобудет индуцировать нечеткое подмножество с функцией принадлежности

(5.2)

Пример. Рассмотрим нечеткое отношение между

(5.3)

(5.4)

определенное следующей таблицей:

(5.5)

Отношениевыражает условную функцию принадлежности

(5.6)

Например,

(5.7)

Допустим, что в Е1 имеется нечеткое подмножествоопределен­ное как

(5.8)