Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

Пример (см. рис. 5.22).

Рис. 5.22

Пусть

(5.73)

(5.74)

Тогда имеем

расстояния (5.75)

диаметры (5.76)

относительные (5.77)

расстояния

и относительное обобщенное расстояние Хемминга

(5.78)

Неоднородное нечеткое подмножество. Предположим, что принимает свои значения в Li, i = 1, 2,..., п. Тогда множество нечетких подмножеств можно записать в виде

(5.79)

где {хi}, i = 1, 2, ..., п — обычные одноточечные подмножества Е.

Любой элемент вида (5.79) будет называться неоднородным нечет­ким подмножеством. Примерами неоднородных нечетких подмножеств одного и того же универсального множества могут служить подмно­жества (5.73) и (5.74).

Если

L1 = L2 = ... = Ln, (5.83)

то

(5.84)

Мы снова приходим к понятию нечеткого подмножества, которое рассматривалось до сих пор.

Замечание. Очевидно, что в обобщении можно пойти дальше, счи­тая некоторые Li и Lj зависимыми.

Например, обычное подмножество мо-

жет принимать свои значения в L12, а не х1 в L1 и х2 в L2. Это позволя-

ет ввести расширение понятия нечеткого подмноже­ства, которое можно описать как состоящее из взаимозависимых нечетких подмножеств.

4.6. Операции на нечетких подмножествах в случае, когда L— решетка

Мы уже знаем, что по определению в любой решетке L каждой па­ре {α,β} можно поставить в соответствие один и только один элемент из L, называемый нижней границей { α,β } и обозначаемый α∆β и один и только один элемент из L, называемый верхней границей { α,β } и обозначаемый α β. Следовательно, множество элементов решетки L обладает двумя всюду определенными внутренними законами ∆ и .

Всю теорию, развитую ранее, для пол­ностью упорядоченных множеств принадлежностей М, которые, как мы знаем, представляют собой очень частный случай решетки, можно распространить на общий случай решеток.

Поэтому пересмотрим материал, изложенный в начале работы, заме­нив М решеткой L.

Пусть Е — универсальное множество и L — решетка. Мы знаем, что называется степенью множества LE.

Пусть α L. Нечеткое подмножество или, что эквивалентно,

это такое подмножество, что каждому х Е можно поставить в соответствие элемент α L; этот элемент α обозначим (х).

Рассмотрим различные обобщения свойств, изученных ранее; свой­ства будут изучаться на примере решетки (рис. 6.1) и множества

Е={А, В, С}.

Рис. 6.1

Мы выбрали столь простой пример лишь с дидактичес­кой целью, однако все выводы остаются справедливыми для любого универсального множества Е, конеч­ного или нет, и для любой решетки L, конеч­ной или нет.

Включение. Пусть — отношение порядка на решетке; будем говорить, что содержится в если

(6.1)

и обозначать это

(6.2)

Таким образом, можнозаписать

(6.3)

Мы видим, что два нечетких подмножества сравнимы, если 1) срав­нимы соответствующие значения, принимаемые функцией принадлеж­ности в решетке L; 2) между двумя нечеткими подмножествами сущест­вует отношение доминирования.

Пример (см. рис. 6.1). Пусть

(6.4) (6,5)

Очевидно, чтодействительно сравнимы, поскольку

следовательно,

(5.6)

Пусть задано еще одно нечеткое подмножество

(6.7)

Очевидно, что несравнимо ни с ни с поскольку значения c и d, которые встречаются в С, несравнимы в L.

Пусть

(6.8)

несравнимо с посколькуи не существует

доминирования подмножестваподмножеством и наоборот.

Равенство. Два нечетких подмножества равны тогда и только тогда, когда

(6.9)

или в эквивалентной записи

(6.10)

Дополнение. На этом понятии необходимо остановиться подробнее. Понятие дополнения, использованное Заде при рассмотрении им мно­жества М = [0, 1], и понятие дополнения в теории решеток— раз­ные.

По Заде для нечетких подмножеств дополнение определяется так:

(6.11)

Однако мы видели, что не все решетки имеют дополнения и для того, чтобы это свойство здесь имело смысл, необходимо, во-первых, чтобы удовлетворялись условия (4.20) и (4.21), и, во-вторых, чтобы допол­нение было единственным. Это выполняется в случае дистрибутивной решетки. Поэтому, чтобы каждому элементу L ставить в соответствие единственное дополнение и, как следствие, единственное дополнение каждому элементу LE, рассмотрим дистрибутивные решетки с до­полнениями, т. е. булевы решетки. Поскольку L — булева решетка, то LE — тоже булева решетка. Тогда можем записать

(6.12)

где 0 — нижняя граница булевой решетки L, a U — верхняя грани­ца; в нашем случае 0 и U — не числа, а экстремальные элементы, оп­ределенные формулами (4.20) и (4.21).

С учетом этих соображений использованное Заде понятие дополне­ния будет называться псевдодополнением. Эти два понятия совпадают только в случае, когда рассматривается решетка L = {0, 1}.

Замечание. Если решетка L дистрибутивная и с дополнениями, то с функциями принадлежности множества Е можно работать как с функ­циями распределения вероятностей. Поэтому, обобщая настоящий случай, мы также обобщаем теорию вероятностей.

Пересечение. Пересечение

(6.13)

обладает свойством

(6.14)

Мы видим, что пересечение может иметь смысл только при условии, что отношение порядка на L определяет L как нижнюю полурешетку. Так как здесь, по нашему предположению, L — решетка, то это усло­вие выполняется.

Пример (см. рис. 6.1). Рассмотрим нечеткие подмножества (6.4) и (6.5); имеем

(6.15)