11 лекций по линейной алгебре (стр. 10 )

◄ Пусть Тогда

то есть

►

1.13 Матрица перехода

Бесконечность числа базисов в конечномерном пространстве ставит проблему установления связей между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Эта проблема решается в терминах матрицы перехода от одного базиса к другому.

Рассмотрим два базиса и в n-мер - ном пространстве Каждый из векторов второго базиса разложим по первому базису,

(1.23)

В результате появляется матрица

(1.24)

порядка n, которая называется матрицей перехода от базиса к базису. Заметим, что эта матрица имеет вид

,

то есть ее столбцами являются координатные столбцы векторов базиса в

базисе .

Изучим свойства матрицы перехода от одного базиса к другому.

1). Рассмотрим три базиса и . Тогда

(1.25)

◄ Пусть

Тогда из формул (1.23) следует, что

Следовательно,

Но координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Поэтому для любых

Откуда и вытекает равенство (1.25).►

2). Если базисы и одинаковы, тогда

◄ Действительно,

поэтому ►

3). Матрица перехода от одного базиса к другому всегда невырожденная и

(1.26)

◄ Положим и воспользуемся свойствами 1 и 2. Из равенства (1.25) следует, что

(1.27)

Откуда следует невырожденность матрицы перехода

а, следовательно, и ее обратимость. Формула (1.26) получается из равенства

(1.27) умножением его обеих частей слева на матрицу ►

1.14 Связь между координатами вектора в разных базисах

Пусть - произвольный вектор пространства , а и два базиса в c матрицей перехода вида (1.24). Выведем связь между координатными векторами

и

Используя определение координатного вектора и выражая векторы базиса через векторы базиса , получаем, что

В силу единственности координат вектора в базисе

Последние формулы можно записать в виде

(1.28)

Это и есть искомая связь между координатными векторами и

1.15 Алгоритмы определения координат вектора в базисе

Если базис в пространстве и , то источником отыскания координатного вектора является равенство

(1.29)

в котором числа определяются единственным образом.

Пример 27. Найти координаты вектора в базисе

◄ Составим уравнение вида (1.29),

,

или

Используя принцип равенства матриц, получаем неоднородную систему уравнений

которую решаем методом Гаусса,

Откуда следует, что

Рекомендуем сделать проверку, подставив найденные решения в равенство (1.29).►

Часто задача ставится следующим образом. Выяснить, является ли данная система векторов базисом данного пространства (обычно число векторов данной системы совпадает с размерностью пространства), и в случае положительного ответа найти координаты данного вектора в данном базисе. На первый взгляд эта задача распадается на две: определения базисности данной системы векторов и нахождения координат данного вектора в базисе. Целесообразно эти две задачи решать одновременно, сразу рассматривая неоднородное уравнение (1.29) (а не сначала однородное уравнение (1.7), позволяющее выяснить линейную независимость, а значит и базисность заданной системы векторов). Определенность получаемой при этом неоднородной системы уравнений является сигналом того, что исходная система векторов есть базис.

Пример 28. Выяснить, является ли следующая система многочленов базисом пространства ,

, (1.30)

и при положительном ответе на этот вопрос найти координаты многочлена в этом базисе.

◄ Составим уравнение вида (1.29)

приведем подобные члены

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в правой и левой частях последнего равенства, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений,

которую решаем методом Гаусса,

.

В этот момент мы обнаруживаем, что эта система уравнений несовместна и, следовательно, Б.►