11 лекций по линейной алгебре (стр. 11 )

Предлагаем читателю проверить самостоятельно, что если в системе (1.30) многочлен заменить на многочлен то новая система многочленов уже будет базисом в , и найти координаты многочлена в этом базисе.

Пример 29. Найти координаты вектора в базисе :

1) 

2)  в ,

3) 

в

◄ 1) Легко заметить, что

2)  Легко заметить, что

3)  Легко заметить, что

►

Глава 2.

Подпространство.

Лекции VI и VII

План

2.1. Определения и примеры.

2.2. Свойства подпространств. Сумма и пересечение подпространств.

2.3. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.

2.4. Линейные оболочки.

2.5. Размерность и базис линейной оболочки.

2.1. Определения и примеры.

Примеры задания на множестве структуры линейного пространства, приведенные в Лекции 1 (см.[10]), далеко не исчерпывают потребностей как самой линейной алгебры, так и ее приложений. Часто возникает необходимость самостоятельного функционирования такой структуры не на всем множестве, а на некоторых его подмножествах. Более того, обычно представляют большой интерес подмножества векторов данного линейного пространства, на которых исходные операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр также порождают структуру линейного пространства. Эти подмножества называются подпространствами данного линейного пространства.

Определение. Непустое подмножество L линейного пространства называется его подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр, то есть из того, что L следует, что L и L для любого из .

Отметим следующие свойства подпространств, вытекающие из определения.

1)  Вместе с любыми векторами и подпространству принадлежат и все возможные их линейные комбинации, где

Замечание 1. Свойство 1) можно взять за определение подпространства.

2) Нуль-вектор пространства принадлежит любому его подпространству L.

◄ L L L.►

3). Вместе с каждым вектором пространства, принадлежащим

подпространству L, ему принадлежит противоположный вектор .

◄ L L.►

Следующее основное свойство подпространств линейного пространства вытекает из свойств 1) и 2).

4). Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, первоначально определенные в пространстве, порождают на любом его подпространстве структуру линейного векторного пространства над полем F.

◄ Из определения подпространства следует, что сложение векторов является внутренним законом композиции на L, а умножение вектора на скаляр – внешним законом композиции на L над полем P. Выполнение аксиом линейного пространства 1), 2), 5)-8) (см.[10], 1.1) очевидно. Аксиомы 3) и 4) доказаны выше (это свойства 2) и 3) соответственно).►

Приведем примеры подпространств в основных линейных пространствах, рассмотренных выше в Лекции I (см. [10], 1.3).

Пример 1. Пусть Тогда множество всех векторов вида где образует подпространство в пространстве

Пример 2. Если стандартное трехмерное пространство геометрических векторов, выходящих из начала координат, плоскость , а ось , то является подпространством пространства , а и подпространствами пространства .

Пример 3. Пусть а L - множество «полумагических» матриц второго порядка, содержащихся в то есть множество матриц вида

где

Тогда L - подпространство в пространстве .

Пример 4. Линейные пространства многочленов

[], [], …,[]

являются подпространствами линейного пространства []. Последнее пространство при любом является подпространством линейного пространства [].

Пример 5. Пусть , и x0. Множество всех функций, определенных и непрерывных на отрезке и обращающихся в ноль в точке является подпространством линейного пространства