11 лекций по линейной алгебре (стр. 3 )

по свойству единственности нуль – вектора.►

5.  Если тогда либо , либо

◄ Действительно, если тогда справедливо свойство 3. Если же тогда (по аксиоме 6) и свойству 4))►

6.  Для любого вектора

◄ Заметим, что скаляр является противоположным элементом единицы поля . Далее,

по свойству 3) по свойству единственности противоположного вектора.►

7.  Для любого вектора и любого скаляра

На основании последних двух свойств полезно ввести операцию вычитания векторов по формуле

8.  Для любых векторов и любых скаляров

1.2 Примеры линейных пространств.

Пример 3. Пусть множество матриц – столбцов вида

где Операции поэлементного сложения матриц и умножения матрицы на число задают на структуру линейного пространства над полем . Оно называется координатным пространством. Векторы из пространства обычно называются арифметическими, а само пространство - арифметическим пространством.

При . Тем не менее, легко заметить, что операции сложения и умножения чисел задают на поле структуру линейного пространства над самим полем .

Пример 4. Через обозначим множество всех геометрических (физических) векторов, лежащих соответственно на прямой, плоскости или в пространстве, выходящих из начала координат. Стандартные операции сложения векторов (в и по правилу параллелограмма) и умножения вектора на действительное число по правилу сжатия – растяжения и отражения от начала координат задают на этих множествах структуру линейного вещественного пространства.

Пример 5. Пример 3 допускает обобщение. Если в качестве рассмотреть множество матриц а операции сложения матриц и умножения матрицы на число оставить прежними (см.[],п. п.1.4 и 1.5), то тем самым на мы задаем структуру линейного пространства над полем .

Пример 6. Через , обозначим множество всех вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке . Операции сложения функций и умножения функции на вещественное число

задают на структуру линейного вещественного пространства. Это утверждение опирается на следующие свойства непрерывных функций:

1)  сумма функций, непрерывных на , является функцией, непрерывной на ;

2)  произведение функции, непрерывной на , на число является функцией, непрерывной на .

Пример 7. Через обозначим множество всех многочленов от одной переменной степени не выше с коэффициентами из поля . Операции стандартного сложения многочленов (приведением подобных членов) и умножения многочлена на число из поля задают на структуру линейного пространства над полем .

То же самое верно для множества всех многочленов произвольных степеней от одной переменной с коэффициентами из поля .

Замечание 1. Обилие примеров линейных пространств (одних только бесконечных полей, с которыми мы уже сталкивались, не менее трех: рациональное, вещественное и комплексное) наводит читателя на мысль о «легкости» задания структуры линейного пространства на том или ином множестве, что далеко не так.

Например, стоит вместо или в примере 4 взять в качестве полупрямую, полуплоскость или соответственно полупространство, как мы получаем отрицательный результат, так как мы удалили векторы, являющиеся противоположными оставшимся, и тем самым разрушили описанную ранее структуру вещественного линейного пространства.

Точно также, ограничившись в примере 7 лишь многочленами точно (!) степени , мы не можем на новом множестве ввести прежнюю структуру линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени , вообще говоря, не является многочленом степени (например, ). Следовательно, обычная операция сложения многочленов не является внутреннем законом композиции на этом множестве.

Предлагаем читателю самостоятельно выяснить, почему множество всех арифметических векторов вида или множество всех непрерывных на функций , удовлетворяющих условию с рассмотренными выше операциями, не являются линейными пространствами.

Другие примеры подобного сорта будут рассмотрены ниже в теме «Подпространство».

Лекция 2.

План

1.4 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов