11 лекций по линейной алгебре (стр. 9 )

Пример 26. При каких значениях параметра система векторов

образует базис в пространстве

◄ Так как (см. пример 25,1), то по следствию 3 Б тогда и только тогда, когда выполняется условие

(1.22)

Но

,

откуда следует, что условие (1.22) выполняется только при В итоге получаем, что Б ►

1.11 Описание полных систем и дополнение линейно независимых

систем до базисов

Метод вытеснения, использованный при доказательстве теоремы 5, основан на втором критерии линейной зависимости системы векторов (теорема 2). Сейчас мы рассмотрим еще два применения этого критерия: описание всех полных систем векторов в конечномерном пространстве и дополнение линейно независимых систем векторов до базисов.

Теорема 6. Для того чтобы система векторов была полной в мерном пространстве (), необходимо и достаточно, чтобы число векторов k в данной системе удовлетворяло условию и чтобы среди векторов этой системы нашлось n линейно независимых векторов.

Иными словами, все полные системы в конечномерном пространстве это либо базисы, либо конечные расширения базисов.

◄ Достаточность. Пусть и система в качестве своей подсистемы содержит базис. Так как базис является полной системой, а конечное расширение полной системы является полной системой, то при =Б, а при =ПС.

Необходимость. Пусть =ПС. Можем считать, что

Если то отбросив вновь полу-

чим полную систему , у которой . Применим 2-й критерий линейной зависимости системы векторов (Теорема 2), по которому один из векторов системы есть линейная комбинация предыдущих векторов. Выбросим вектор из исходной системы. По второму свойству полных систем (см. п.1.8) полученная система остается полной. Если полученная система векторов линейно независима, то она является базисом, и теорема доказана ( и =Б). Если же полученная система векторов линейно зависима, то продолжим процесс применения теоремы 2 и выбрасывания векторов, являющихся линейными комбинациями оставшихся. Сохраняя на каждом таком шаге полноту системы, рано или поздно придем к линейно независимой системе, то есть к базису. При этом ясно, что , так как по следствию 1 в мерном пространстве все базисы состоят из векторов.►

Теорема 7. Любую линейно независимую систему векторов произвольного конечномерного линейного пространства можно дополнить до базиса в

этом пространстве.

◄ Пусть =ЛНЗС в пространстве и Очевидно, что Если тогда по следствию 1 =Б. Поэтому достаточно рассмотреть лишь случай

Так как то в найдется базис, например, , содержащий n векторов. Составим систему векторов

. (1.22)

По теореме 6 эта система является полной. В то же время она является линей - но зависимой системой, так как число ее векторов

К системе векторов вида (1.22) применим процедуру, использованную при доказательстве теоремы 6 (т. е. второй критерий линейной зависимости и отбрасывание векторов, являющихся линейными комбинациями предыдущих). При этом ни один из векторов системы не будет выброшен, так как по условию ни один из векторов этой системы не является линейной комбинацией предыдущих. Значит, отбрасываться будут только векторы базиса . После конечного числа шагов (таких шагов будет ) мы получим полную линейно независимую систему

,

которая является базисом и одновременно содержит все векторы исходной

системы.►

Лекция 5

План

1.12 Координаты вектора в базисе

1.13 Матрица перехода

1.14 Связь между координатами вектора в разных базисах

1.15 Алгоритмы определения координат вектора в базисе

1.12 Координаты вектора в базисе

Пусть - базис в пространстве. Так как произвольный вектор a пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных векторов, числа в равенстве (1.10) однозначно определяются вектором a и базисом. Эти числа называются координатами вектора a в базисе , а вектор

и называется вектором координат вектором a и базисомили просто координатным вектором (вектора a в базисе ). Этим, кстати, объясняется название пространства как координатного пространства.

Роль координатных векторов и координатного пространства в линейной алгебре настолько велика, что к этому вопросу мы вернемся ниже в лекции специально. Сейчас же мы рассмотрим простейшие свойства координат и поострим алгоритмы их вычисления.

1.Координаты вектора в базисе определяются единственным образом.

◄ Это свойство является следствием основного свойства базиса, из которого следует, что любой вектор пространства разлагается по базису единственным образом.►

2. Для любого базиса , любых векторов а и b и любых чисел