11 лекций по линейной алгебре (стр. 15 )

◄ Пусть r = rang и = = ЛНЗС. Покажем, что

L = L . По свойству 3) линейных оболочек L L. Остается доказать, что L . Действительно, система векторов

,, (2.8)

состоящая из r+1 вектора, является ЛЗС для любого вектора из , так как rang= r. По второму критерию линейной зависимости ([11],1.5, теорема 2) в системе (8) вектор является линейной комбинацией предыдущих. Следовательно, L , . L L L = L Система векторов , будучи линейно независимой и полной в L системой, является в L базисом. По теореме о связи между размерностью и базисом в конечномерном линейном пространстве

L= r = rang.►

Лекции VIII и IX

Ранг матрицы

План

2.6. Постановка задачи и основная теорема.

2.7. Совпадение строчного и столбцового рангов.

2.8. Доказательство основной теоремы о ранге.

2.9. Дополнительные свойства ранга матрицы.

2.10. Ранг матрицы и отношение эквивалентности.

2.11. Алгоритмы вычисления ранга матрицы и первые

приложения.

2.6. Постановка задачи и основная теорема.

Пусть Строчный и столбцовый ранги матрицы определяются как ранги rang и rang соответственно системы строк и столбцов этой матрицы,

Определение 1. Строчным рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк. Столбцовым рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых столбцов.

Наряду с этим введем понятие минорного ранга матрицы , который в литературе, как правило, называется просто «рангом матрицы ».

Определение 2. Минорным рангом матрицы называется наивысший порядок ненулевых миноров этой матрицы.

Основная теорема о ранге матрицы утверждает, что все три ранга: строчный, столбцовый и минорный; совпадают. Эта теорема является одним из самых глубоких результатов конечномерного линейного анализа. Ее доказательство распадается на несколько этапов и опирается на ряд изученных раннее в этом курсе разделов. Вначале, используя технику элементарных матриц и линейных оболочек, мы покажем, что проведение в матрице элементарных преобразований не меняет ее как строчного, так и столбцового рангов. Это свойство исключительно важно для вычисления ранга матрицы. После этого, опираясь на теорему о разложении матрица в произведение простейших матриц, мы докажем совпадение строчного и столбцового рангов произвольной матрицы. Наконец, используя разработанную в первой части этого курса теорию определителей, мы получим доказательство совпадения всех трех рангов.

2.7. Совпадение строчного и столбцового рангов.

Теорема 3 ( о копреобразованиях ). Пусть матрица получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (столбцовых) элементарных преобразований. Тогда

= ( = ).

◄ Введем две линейных оболочки

L и L

и заметим, что при каждом строчном элементарном преобразовании матрицы L, По свойству 3 линейных оболочек L L. Но элементарные преобразования обратимы. Следовательно, матрица полу-

чается из матрицы также с помощью конечного числа строчных элемен-

тарных преобразований. Поэтому LLL=L. По теореме 2

= L= L=.

Случай столбцовых преобразований рассматривается аналогичным образом.►

Теорема 4 ( о контрапреобразованиях ). Пусть матрица получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (столбцовых) элементарных преобразований. Тогда

= (= ).

◄ Пусть Так как матрица получена из матрицы с помощью конечного числа строчных элементарных преобразований, то существует такая матрица что ([8], П. 1.13). Откуда следует, что