11 лекций по линейной алгебре (стр. 18 )

Рассматриваемое отношение эквивалентности разбивает множество матриц на классы эквивалентных между собою матриц. В силу Теоремы 8 таких классов будет ровно столько, сколько значений может принимать ранг матрицы с m строками и n столбцами

= где

Классу принадлежит одна матрица так как только она одна имеет нулевой ранг. Классу принадлежат все матрицы ранга 1. Каноническим представителем этого класса является матрица

.

Классу принадлежат все матрицы ранга 2 и т. д. Наконец, классу принадлежат все матрицы ранга Каноническим представителем этого класса является матрица которая в зависимости от соотношений между m и n имеет вид:

Замечание 6. В третьей части этого курса будет проведена более тонкая классификация множества квадратных матриц одинакового размера. При этом вместо отношения эквивалентности «одинаковый ранг» будет использовано другое отношение эквивалентности - «подобие».([ ], )

2.11. Вычисление ранга матрицы и первые приложения.

Прежде всего заметим, что ранг матрицы равен рангу любой матрицы приведенного вида, полученной из данной с помощью строчных элементарных преобразований, а ранг матрицы приведенного вида равен числу ее ненулевых строк ([8], п. 1.11, доказательство предложения 1.4).

Однако, для вычисления ранга матрицы достаточно привести ее к так называемому «ступенчатому виду», в любой строке которого содержится ненулевой элемент, ниже (!) которого в столбце стоят нули. Например, ступенчатый вид имеет матрица

Нетрудно заметить, что такая матрица эквивалентна матрице , у которой число r совпадает с числом ненулевых строк любой матрицы ступенчатого вида, полученной из данной матрицы с помощью строчных элементарных преобразований.

Пример 9. Вычислить ранг матрицы

◄ Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью строчных элементарных преобразований

Откуда следует, что ►

В качестве первых приложений ранга матрицы рассмотрим алгоритмы нахождения базиса и размерности линейной оболочки, определения полноты системы векторов и дополнения линейно независимой системы до базиса в пространстве

Пример 10. Определить размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов

(1,1,-1,1)Т, а2 = (1,-1,1,1)Т, а3 = (1,0,0,1)Т, а4 = (2,1,-1,2)Т.

◄ По теореме 2 L(a)= где

= .

Заметив, что приведем матрицу к ступенчатому виду,

Так как то L Поскольку L(a) =

= , то базис в L(a) образуют векторы

►

Замечание 7. После вычисления ранга матрицы А нетрудно заметить, что в качестве базиса в L(a) можно взять любые (!) два вектора остова

Пример 11. Выяснить, является ли система векторов

полной в пространстве

◄ Для того, чтобы система векторов была полной в пространстве необходимо и достаточно, чтобы она содержала в качестве своей подсистемы базис этого пространства, то есть линейно независимую систему из трех векторов

Рассмотрим матрицу

и вычислим ее ранг, совпадающий с рангом рассматриваемой системы векторов,

откуда следует, что Таким образом, данная система векторов не является полной в пространстве ►

Пример 12. Следующую линейно независимую систему векторов

дополнить до базиса в пространстве

◄ Матрицу

приведем строчными преобразованиями к ступенчатому виду,

Заметив, что построим матрицу В следующего вида

Так как а строки матрицы В образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Легко заметить, что матрица В эквивалентна следующей матрице

и поэтому Отсюда следует, что система векторов

,

будучи ЛНЗС, образует базис в пространстве ►

Лекции Х и ХI

Общая теория разрешимости СЛАУ

План

2.12. Подпространства и

2.13. ФСР и общее решение однородной СЛАУ.

2.14.  Теорема Кронекера-Капелли.

2.15 Общее решение неоднородной СЛАУ и критерий

неопределенности.

2.16.  Приложения.

2.11.  Подпространства KerA и ImA.

Разработанные выше теория подпространств в линейном пространстве и теория ранга матрицы позволяют завершить общую теорию разрешимости систем линейных алгебраических уравнений, начатую в первой части нашего курса.

Рассмотрим неоднородную СЛАУ

(2.10)

с основной матрицей

(2.11)