11 лекций по линейной алгебре (стр. 16 )

Пусть теперь у матрицы некоторая система столбцов

= ЛНЗС. Покажем, что = ЛНЗС. Для этого введем матрицы

,

и заметим, что Система столбцов ЛНЗС тогда и только тогда, когда однородная СЛАУ с матрицей , а вместе с ней и матричное

уравнение имеют только нулевое решение. Но матричные уравнения

и равносильны ([8], п. 1.14, предложение 1.9). Поэтому уравнение , а вместе с ним и однородная СЛАУ с матрицей имеют только нулевое решение. Следовательно, = ЛНЗС.

Из обратимости элементарных преобразований следует, что если некоторый набор столбцов матрицы образует ЛНЗС, то и набор столбцов матрицы с аналогичными номерами образует ЛНЗС. Поэтому =.

Случай столбцовых преобразований рассматривается аналогичным образом.►

Следствие. Пусть матрица получена из матрицы с помощью конечного числа элементарных преобразований. Тогда

= и = .

Теорема 5. Пусть Тогда

= .

◄ В силу предложения 1.4 ([8], п. 1.11) найдется конечное число элементарных преобразований, приводящих матрицу к виду ,

,

где единичная матрица порядка r. Ввиду следствия из теорем 3 и 4

= , = . Но == r. = .►

2.8. Доказательство основной теоремы о ранге.

Теорема 6. Пусть Тогда

= = .

◄ Вначале покажем, что определитель квадратной матрицы , все столбцы которой образуют ЛНЗС, отличен от нуля. В самом деле, из

предложения 3.14 ([9], п. 3.7) следует, что найдется конечное число строчных трансвекций, приводящих матрицу к верхнетреугольному виду В∆. При этом

∆=

Так как по теореме 4 = (В∆) = n, то . Проводя соответствующие столбцовые трансвекции в матрице В∆, получаем, что

∆= ∆= ,

а (С∆) = n. Поэтому и так далее. Окончательно получаем, что

Остается показать, что

= = r = r.

Во-первых, заметим, что все миноры матрицы А порядка r+1 равны нулю. На самом деле, пусть минор расположен на некоторой системе из r+1 столбца матрицы А. Так как = r, то эта система столбцов линейно зависима. Следовательно, в ней найдется столбец , который является ЛКО столбцов этой системы. Но тогда фрагмент столбца , входящий в минор , будет ЛКО фрагментов столбцов данной системы столбцов, входящих в (с теми же коэффициентами). Поэтому =0.

Во-вторых, покажем, что в матрице А существует ненулевой минор порядка . Для этого в А выделим линейно независимых строк. Отбросив остальные строки матрицы А, получим матрицу , у которой = = . По тереме 6 = . После этого в матрице выделим линейно независимых столбцов. Отбросив в ней остальные столбцы, получим квадратную матрицу С порядка , у которой = = . Но тогда по доказанному выше . ►

2.9. Дополнительные свойства ранга матрицы.

Из теоремы 6 следует, что под рангом матрицы мы можем понимать любое из чисел , и . В дальнейшем ранг матрицы А будем обозначать rang A или кратко и рассмотрим ряд дополнительных его свойств.

1)  Пусть Тогда