11 лекций по линейной алгебре (стр. 4 )

1.5 Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем

1.6 Критерии линейной зависимости и независимости

1.7 Алгоритмы определения линейной зависимости и линейной

независимости

1.4 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Основным рабочим понятием рассматриваемой теории является понятие линейной комбинации векторов.

Определение. Будем говорить, что вектор является линейной комбинацией векторов если найдутся такие скаляры что

. (1.4)

Если равенство (1.4) выполнено, то будем говорить также, что вектор линейно выражается через векторы .

Пример 8. 1) В пространстве вектор линейно выражается через векторы так как

2) В пространстве многочлен линейно выражается через многочлены так как .

Определение. Непустое конечное множество векторов из линейного пространства , каждый из которых принимает номер от 1 до n, в дальнейшем будем называть системой из n векторов и обозначать

Системы векторов и из пространства будем называть равными или одинаковыми, если и

Замечание 2. Из определения системы векторов следует, что векторы в данной системе могут повторяться. Кроме того, конечное множество попарно различных векторов из данного пространства при разной перенумерации порождает, вообще говоря, различные системы векторов.

Определение. Система векторов линейного пространства, состоящая из одного вектора, называется линейно зависимой системой (сокращенно ЛЗС),

если этот вектор равен нуль – вектору. Система векторов ,

называется линейно зависимой системой, если хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Определение. Система векторов линейного пространства, состоящая из одного вектора, называется линейно независимой системой (сокращенно ЛНЗС), если этот вектор не равен нуль – вектору. Система векторов , называется линейно независимой системой, если ни один из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Пример 9. Как следует из примера 8, система векторов

является ЛЗС в пространстве . Заметим, что в этой системе каждый из ее векторов является линейной комбинацией остальных,

Из этого же примера следует, что система многочленов

является ЛЗС в пространстве

В то же время система векторов из примера 8 является ЛНЗС в пространстве (сокращенно = ЛНЗС).

Действительно, если положить, что то

.

Если же положить, что то

То есть ни один из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных.

1.5 Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.

Отметим простейшие свойства рассматриваемых ниже систем векторов.

1)  Любая перестановка векторов данной системы не меняет ее линейной зависимости или независимости.

2)  Система векторов, содержащая нуль – вектор, является линейно зависимой системой.

◄ Действительно, вектор является линейной комбинацией любой системы векторов с коэффициентами .►

Под конечным расширением системы векторов будем понимать добавление к этой системе конечного числа векторов.

3)  Конечное расширение линейно зависимой системы векторов является линейно зависимой системой.

◄ Доказательство достаточно провести лишь для случая расширения системы одним вектором. Пусть =ЛЗС в . Тогда один из векторов этой системы линейно выражается через остальные векторы этой системы. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что

. (1.5)

В противном случае можно поменять местами векторы данной системы, что

в силу свойства 1) не меняет ее линейной зависимости. Равенство (1.5) мож-

но переписать в виде

(1.6)

где произвольный вектор рассматриваемого пространства. Но тогда для любого ►

Прием, использованный при переходе от равенства (1.5) к равенству (1.6), позволяет доказать еще одно свойство линейно зависимых систем векторов.

4)  Если какой-нибудь вектор из данной системы векторов является линейной комбинацией некоторой подсистемы этой системы векторов, тогда этот вектор является линейной комбинацией всей оставшейся системы векторов.

Под сужением данной системы векторов будем понимать произвольное непустое подмножество этой системы, не совпадающее со всей системой.

5). Сужение линейно независимой системы векторов является линейно независимой системой.

◄ Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что система ЛНЗС, но и ЛЗС. Так как исходная система векторов является конечным расширением системы векторов , в силу свойства 3) она должна быть линейно зависимой. ЛНЗС.►

6). Система векторов, содержащая вместе с каким – нибудь вектором ему противоположный вектор, является линейно зависимой.

◄ Пусть вначале система векторов состоит из двух векторов и . Так как по свойству 6) из п.1.2 предыдущей лекции , то эта система векторов является линейно зависимой. В общем случае при достаточно воспользоваться свойством 3).►