11 лекций по линейной алгебре (стр. 13 )

Пример 6. Найти размерность и базис подпространства L координатного пространства , состоящего из векторов вида .

◄ Так как

то векторы , образуют в подпространстве L ПС. Вместе с тем ЛНЗС как подсистема стандартного базиса в . Сле-

довательно, Б в подпространстве L. Но тогда L = 2.►

Пример 7. Пусть

L .

Показать что L подпространство в пространстве , найти его размерность и базис.

◄ Пусть и . Тогда для любых и Следовательно, L подпространство в пространстве .

Стандартный базис в имеет вид . Но любой многочлен можно разложить по степеням

. (2.1)

Откуда следует, что система многочленов

(2.2)

является базисом в пространстве . Если же L, то из (2.1) получаем, что

,

то есть система многочленов

= ПС

в подпространстве L. Так как она линейно независима (как подсистема линейно независимой системы (2.2)), то является базисом в L. Следовательно, L ►

Пример 8. Найти размерность и базис подпространства из примера 3.

◄ Из определения полумагической матрицы второго порядка следует, что она имеет вид

Но тогда система матриц , где

,

образует базис, так как она линейно независима и полна в рассматриваемом подпространстве, а размерность этого подпространства равна 2.►

2.3. Связь между размерностями суммы и пересечения

подпространств.

Содержанием следующей теоремы является формула Грассмана, описывающая связь между размерностями двух подпространств и размерностями их суммы и пересечения.

Теорема 1. Пусть L и L подпространства конечномерного пространства. Тогда

(L1+L2) + (L L) = L + L . (2.3)

◄ Вначале предположим, что L L, LL, то есть оба подпространства ненулевые. Пусть

L , L, (L L).

В подпространстве L L выберем произвольный базис Б = Ясно, что БL и Б L. Вначале дополним систему векторов Б до базиса Б1 в подпространстве L ,

Б1

После этого дополним туже самую систему векторов Б до базиса Б2 в подпространстве L,

Б2

и покажем, что система векторов

(2.4)

является базисом в подпространстве L L.

Полнота системы векторов (2.4) вытекает из определения базисов Б1 и Б2. Остается доказать лишь линейную независимость системы векторов (2.4). Пусть

(2.5)

Так как вектор L , а из равенства (2.5) следует, что L2, то (L L). Поэтому в силу единственности разложения по базису Б

.

Но тогда Следовательно, .

Возвращаясь к равенству (2.5), видим, что

Откуда следует, что . В силу первого критерия линейной независимости системы векторов система векторов (2.4) является линейно независимой, то есть (2.4) – базис в подпространстве L L. Значит,

(L L)

= L L(L L).

Пусть теперь хотя бы одно из подпространств L или L нулевое, например, L = L. Тогда L + L= L, L L= L, и равенство (2.3) очевидно. Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом.►