11 лекций по линейной алгебре (стр. 21 )

.

Тогда

.

Для того чтобы система уравнений (2.22) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы выполнились равенства

(2.23)

Откуда следует, что L тогда и только тогда, когда b является решением системы (2.23), то есть , где

►

Теперь мы можем рассмотреть алгоритмы нахождения базисов в сумме и пересечении подпространств. Пусть

L1 = L= , L2 = L = .

Покажем, что

L= L1+ L2 = .

Действительно,

L, L L L+ LL.

Обратно,

L L1+ L2 L

L1+ L2L= L1+ L2.

Отсюда следует, что

(L1+ L2) = ,

а отыскание базиса в L1+ L2 сводится к нахождению базиса линейной оболочки L.

Пример 13. Найти размерность и базис в подпространстве L1+ L2, где

L1 = ,

L2 = ,

◄ Находим базис в ,

.

Откуда следует, что базис в L1+ L2 образуют векторы

а (L1+ L2) = 3.►

Для нахождения базиса в подпространстве L1L2 нужно представить подпространства L1 и L2 как множества решений однородных СЛАУ с некоторыми матрицами А и В или, что равносильно, как множества решений матричных уравнений Аx=0 и Вх=0. Пусть, например, Тогда

L1L2 где .

В самом деле,

Пример 14. В условиях примера 13 найти ( L1L2) и базис в L1L2.

◄ Вначале находим ОСАУ1 с матрицей А такую, что L1=:

.

Откуда следует, что ОСЛАУ1 и ее матрица А имеют соответственно вид

и

После этого находим ОСЛАУ2 с матрицей В такую, что L2 = :

, и .

Откуда следует, что для подпространства L1L2 ОСЛАУ3 и ее матрица С имеют вид

и

Фундаментальная система решений ОСЛАУ3 является базисом в L1L2.

Найдем ее:

. Откуда получаем, что а фундаментальная система решений состоит

из одного вектора

Таким образом, ( L1L2) = 1, а базисом в L1L2 является ►

Пусть теперь подпространства L1 и L2 заданны в виде множеств решений однородных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами А и В соответственно, L1= и L2 = . Тогда для нахождения базиса в подпространстве L1L2 можно использовать алгоритм, рассмотренный в примере 14, а для нахождения базиса в подпространстве L1+ L2 необходимо представить L1 и L2 в виде линейных оболочек, натянутых на фундаментальные системы решений соответвующих однородных систем линейных алгебраических уравнений, а после этого применить алгоритм, рассмотренный в примере 13.

Пример 15. Найти (L1+ L2) и базис в L1+ L2 , если L1=, L2 =, где