11 лекций по линейной алгебре (стр. 8 )

, (1.15)

которая, будучи базисом, является полной системой. Добавим к этой системе слева вектор . Новая система векторов

, (1.16)

оставаясь полной (как расширение ПС), будет линейно зависимой (вектор является линейной комбинацией векторов ). По теореме 2 один из векторов будет линейной комбинацией предыдущих векторов системы (1.16) а, следовательно, и линейной комбинацией остальных векторов системы (1.16) (свойство 4 п.1.5). Выбросив его из системы (1.16), мы получим полную систему (второе свойство ПС), состоящую из векторов,

, (1.17)

в которой вектор заменен (вытеснен) вектором .

На втором шаге мы добавляем слева к системе (1.17) вектор и применяем к полученной системе векторов

(1.18)

последовательность рассуждений, использованную на первом шаге. Система (1.18) вновь полна и линейно зависима, а один из ее векторов является линейной комбинацией предыдущих. Ввиду сделанных предположений им не может быть вектор (ЛНЗС). Значит, таковым является некоторый вектор Отбрасывая его, мы получаем полную систему из векторов, в которой уже два базисных вектора и заменены векторами и .

Продолжая процесс вытеснения базисных векторов, мы на каждом шаге будем заменять один из векторов базиса на очередной вектор системы (1.14). Но тогда на -ом шаге мы получим полную систему, и, следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов последней системы. Тем самым утверждение (1.14) доказано. Теперь, учитывая замечание 3, получаем, что ►

В качестве следствия теорем 4 и 5 мы получаем описание всех базисов конечномерного пространства.

Следствие 1. Если , то любые (и только ) линейно независимых векторов пространства образуют в нем базис.

В качестве второго следствия теорем 4 и 5 мы получаем наиболее простой способ вычисления размерности данного конечномерного пространства.

Следствие 2. Для вычисления достаточно найти произвольный базис пространства . Тогда с числом базисных векторов, .

Теорема Крамера позволяет дать еще одно описание всех базисов пространства

Следствие 3. Система векторов пространства является базисом в тогда и только тогда, когда матрица , столбцами которой являются векторы данной системы, невырожденная ().

◄ Необходимость. Пусть Б. Тогда любой вектор

единственным образом представим в виде линейной комбинации

, (1.19)

где Это означает, что для данных векторов

уравнение (1.19) разрешимо при любой правой части

и имеет единственное решение

Последнее означает, что система уравнений

(1.20)

при любых правых частях является определенной. Но тогда по теореме Крамера (см. [], ) матрица

является невырожденной.

Достаточность. Пусть матрица невырожденная. Тогда по теореме Крамера СЛАУ (1.20) является определенной, то есть уравнение (1.19) разрешимо при любом . Откуда следует полнота системы . Полагая в (1.20)

по теореме Крамера получаем, что единственное решение СЛАУ (1.20) в этом случае имеет вид

(1.21)

Следовательно, уравнение (1.19) при имеет только нулевое решение (1.21). В силу первого критерия линейной независимости системы векторов =ЛНЗС =Б.►

Пример 25. Чему равна размерность пространств, ,

◄ Применим следствие 2.

1) так как система векторов вида (1.9) является базисом в (см. пример 18 и сравни с примером 24).

2) векторов вида (1.9) является базисом в

(см. пример 18).

3) так как система векторов является базисом в пространстве (см. пример 19).

4) так как система многочленов является базисом в пространстве (см. пример 20).

5) так как система матриц вида (1.13) является базисом в пространстве (см. пример 21).►