Указание. Для доказательства утверждений, содержащихся в примерах
1-5, следует воспользоваться определением подпространства и проверить замкнутость рассматриваемых множеств относительно операций исходного пространства.
2.2. Свойства подпространств. Сумма и пересечение подпространств.
Перейдем к изучению дальнейших свойств подпространств.
1) Одноэлементное множество L0 
является подпространством в любом линейном пространстве 
. Оно называется нулевым подпространством. 
2) Любое линейное пространство является своим подпространством. Оно называется несобственным подпространством пространства . Любое подпространство L пространства , не совпадающее с , называется его собственным подпространством.
3) Если L1 и L
подпространства линейного пространства , тогда множество
L1+L2 = { L
}
является подпространством пространства . Оно называется суммой подпространств L1 и L .
◄ Пусть
L1+L2 , 
L1+L2 , где L
,
L
и 
Тогда
L1+L2 ,
так как
L , 
L
►
4) Если L
подпространства линейного пространства , тогда множество
L L
= {
L
}
подпространство пространства . Оно называется суммой подпространств L
Часто последнее свойство формулируется так: сумма любого числа подпространств данного линейного пространства является его подпространством.
5) Если L и L подпространства линейного пространства , тогда множество
L L = { L, 
L}
является подпространством пространства . Оно называется пересечением подпространств L и L .
◄Пусть 
L L , Тогда по определению подпространства
L
L
L L.►
6) Если L
подпространства линейного пространства , тогда множество
L
L
L
является подпространством пространства . Оно называется пересечением подпространств L
Часто последнее свойство формулируется так: пересечение любого числа подпространств данного линейного пространства является его подпространством.
Основной задачей при изучении подпространств в данном линейном пространстве является определение их размерностей и базисов. Отсутствие единого рецепта для решения данной проблемы заставляет решающего вырабатывать в себе умение выделять особенности, которыми обладает данное множество векторов, превращающие его в подпространство рассматриваемого линейного пространства.
Прежде, чем привести примеры решения подобных задач, сделаем несколько замечаний. Пусть L 
подпространство конечномерного простран-
ства 
.
Замечание 2. Если 
линейно независимая (линейно зависимая) система векторов в подпространстве L, тогда она является линейно независимой (линейно зависимой) системой в пространстве . Отсюда следует, что любое подпространство конечномерного линейного пространства является конечномерным.
Замечание 3. Если 
тогда L= является единственным
подпространством пространства , размерность которого равняется n.
Замечание 4. Размерность нулевого подпространства полагается равной нулю,
L
Это согласуется с определениями линейно зависимой и линейно независимой систем векторов (см. [10], п. 1.3).
Замечание 5. Для любого подпространства L линейного пространства справедливо неравенство 
L 
Решение задач рассматриваемого ниже типа следует начинать с отыскания базиса в подпространстве L, так как число базисных векторов совпадает с L (см. [10], п.1.9, следствие 2 и пример 24).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 |
